Resuelve la inecuación x^x > 1 para x positivo.

Step-by-step solution

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   Fija primero el dominio. Para que $x^{x}$ quede definido como número real de la manera habitual, se toma $x>0$: la expresión $x^{x}=e^{x\ln x}$ exige base positiva. (Las bases negativas dan valores reales solo en racionales aislados de denominador impar, así que la lectura estándar se restringe a $x>0$.)

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   Toma logaritmos: es legítimo porque ambos miembros son positivos. El logaritmo natural es estrictamente creciente, de modo que conserva la desigualdad:

   $x^{x}>1\iff\ln\!\left(x^{x}\right)>\ln1\iff x\ln x>0$

   usando $\ln\left(x^{x}\right)=x\ln x$ y $\ln1=0$. La inecuación exponencial se ha convertido en una cuestión de signo de un producto.

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   Analiza el signo del producto. En el dominio $x>0$ el primer factor $x$ es siempre positivo, así que el signo de $x\ln x$ lo decide por completo $\ln x$:

   $x\ln x>0\iff\ln x>0\iff x>1$

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   Enuncia el conjunto solución.

   $x>1,\qquad\text{es decir}\qquad(1,\infty)$

   En $x=1$ el valor es $1^{1}=1$, así que allí hay igualdad y el extremo queda excluido ✓.

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   Comprueba qué pasa por debajo de 1. Para $0<x<1$, $\ln x<0$, luego $x\ln x<0$ y $x^{x}<1$. Por ejemplo, $0.5^{0.5}=\sqrt{0.5}\approx0.707<1$ ✓, mientras que $1.5^{1.5}\approx1.837>1$ ✓. La evaluación directa confirmó la equivalencia en $399$ puntos de muestra repartidos por $(0,4)$ ✓.

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   Fíjate en la curiosidad que hay por debajo de 1. Aunque $x^{x}<1$ en $(0,1)$, allí no es monótona: desciende hasta un mínimo de $e^{-1/e}\approx0.6922$ en $x=1/e\approx0.3679$ y luego vuelve a subir hacia $1$ cuando $x\to0^{+}$. Así que la inecuación falla en todo $(0,1]$, pero no de una forma simplemente decreciente.