Resuelve la inecuación x² − 4x − 5 > 0 y escribe la solución en notación de intervalos.

Step-by-step solution

1. 1

   Deja el cero en un miembro y factoriza. La inecuación ya tiene el $0$ a la derecha, así que factoriza la cuadrática. Necesitas dos números cuyo producto sea $-5$ y cuya suma sea $-4$: son $-5$ y $+1$, de modo que

   $x^2-4x-5=(x-5)(x+1)$

   y la inecuación se convierte en $(x-5)(x+1)>0$.

2. 2

   Halla los puntos críticos: los ceros de los factores. Igualando cada factor a cero:

   $x-5=0\Rightarrow x=5,\qquad x+1=0\Rightarrow x=-1$

   Son los únicos lugares donde la expresión puede cambiar de signo, porque un producto cambia de signo exactamente donde lo hace uno de sus factores.

3. 3

   Parte la recta numérica en los tres intervalos resultantes.

   $(-\infty,-1),\qquad (-1,5),\qquad (5,\infty)$

   Dentro de cada intervalo el signo de $(x-5)(x+1)$ es constante, así que basta un valor de prueba por intervalo.

4. 4

   Prueba un punto en cada intervalo.

   $x=-2:\ (-7)(-1)=7>0\quad\checkmark$

   $x=0:\ (-5)(1)=-5<0\quad\times$

   $x=6:\ (1)(7)=7>0\quad\checkmark$

   El patrón positivo–negativo–positivo es justo lo que se espera de una parábola que abre hacia arriba y tiene dos raíces distintas.

5. 5

   Escribe el conjunto solución, excluyendo las raíces. La desigualdad es estricta ($>0$, no $\ge 0$), así que los puntos $x=-1$ y $x=5$ —donde la expresión vale cero— no se incluyen:

   $x<-1\ \text{ o }\ x>5,\qquad (-\infty,-1)\cup(5,\infty)$

   Fíjate en la unión: la solución son dos semirrectas separadas y no un solo intervalo, así que no se puede escribir como una desigualdad encadenada del tipo $-1>x>5$.