Resolver log10(log10(x + 0.6)) = 8.8289 − 3.2511 log10(284 + 273.15) para x.

Step-by-step solution

1. 1

   Reducir primero el lado derecho a un único número. No contiene ninguna $x$, así que es pura aritmética. Se empieza por dentro del logaritmo:

   $284+273.15=557.15$

   (la forma de sumar $273.15$ a una temperatura en grados Celsius delata que se trata de una fórmula de presión de vapor tipo Antoine).

2. 2

   Evaluar el lado derecho numérico.

   $\log_{10}(557.15)=2.7459721,\qquad3.2511\times2.7459721=8.9274300$

   de modo que

   $8.8289-8.9274300=-0.0985300$

   El resultado es negativo, lo cual está bien: es el logaritmo de un número entre $0$ y $1$, no una imposibilidad.

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   Deshacer el logaritmo exterior. Elevar $10$ a la potencia de cada lado:

   $\log_{10}(x+0.6)=10^{-0.0985300}=0.7970214$

   Al exponenciar, el valor negativo se convierte en uno positivo menor que $1$ ✓.

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   Deshacer el logaritmo interior. Exponenciar una vez más:

   $x+0.6=10^{0.7970214}=6.2664474$

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   Despejar $x$ y comprobar el dominio.

   $x=6.2664474-0.6=5.6664474\approx5.666$

   Los dos logaritmos son legítimos en este valor: $x+0.6=6.266>0$, y $\log_{10}(6.266)=0.797>0$, así que el logaritmo exterior tiene argumento positivo ✓ — un logaritmo anidado necesita ambas condiciones, y aquí se cumplen.

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   Verificar sustituyendo de vuelta. Calcular $\log_{10}\left(\log_{10}(5.6664474+0.6)\right)$ devuelve $-0.0985300$, que coincide con el lado derecho con un error menor que $10^{-7}$ ✓. Como el $10^{u}$ exterior amplifica los errores, arrastrar al menos siete dígitos por los pasos intermedios importa: redondear $-0.0985$ demasiado pronto desplaza $x$ en la tercera cifra decimal.