Resolver x³ − 6x² + 11x − 6 = 0.

Step-by-step solution

1. 1

   Listar los candidatos a raíz racional. En un polinomio mónico con coeficientes enteros, toda raíz racional debe dividir al término independiente $-6$:

   $\pm 1,\ \pm 2,\ \pm 3,\ \pm 6$

   Aquí los candidatos positivos son los más prometedores, porque todos los cambios de signo en la cadena de coeficientes $1, -6, 11, -6$ apuntan a raíces positivas (la regla de los signos de Descartes admite tres o una).

2. 2

   Hallar la primera raíz por sustitución. Se prueba $x = 1$:

   $1 - 6 + 11 - 6 = 0 \ \checkmark$

   Así que $x = 1$ es raíz y, por el teorema del factor, $(x - 1)$ divide exactamente a la cúbica.

3. 3

   Dividir entre el factor ya conocido con división sintética.

   $\begin{array}{r|rrrr} 1 & 1 & -6 & 11 & -6 \\ & & 1 & -5 & 6 \\ \hline & 1 & -5 & 6 & 0 \end{array}$

   El resto nulo confirma la raíz, y la fila inferior da la cuadrática reducida:

   $x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = (x - 1)(x^2 - 5x + 6)$

4. 4

   Factorizar la cuadrática. Dos números que multiplicados dan $6$ y sumados dan $-5$ son $-2$ y $-3$:

   $x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)$

   de modo que la factorización completa es

   $(x-1)(x-2)(x-3) = 0$

5. 5

   Aplicar la propiedad del producto nulo y comprobar. Un producto es cero solo si alguno de sus factores lo es, así que

   $x = 1, \quad x = 2, \quad x = 3$

   Se comprueba cada raíz en la ecuación original: $8 - 24 + 22 - 6 = 0$ y $27 - 54 + 33 - 6 = 0$. Como comprobación adicional, las raíces deben sumar $-(-6)/1 = 6$ (Vieta), y $1 + 2 + 3 = 6$; su producto debe valer $-(-6)/1 = 6$, y $1 \cdot 2 \cdot 3 = 6$.