Hallar la raíz de la ecuación (x − 4)² = (3 − x)².

Step-by-step solution

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   Usar la regla de los cuadrados iguales en lugar de desarrollar. Para números reales,

   $A^2=B^2\iff A=B\ \text{o}\ A=-B$

   Hay que examinar ambas ramas; quedarse solo con $A=B$ es la forma habitual de perder una raíz.

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   Rama 1: $x-4=3-x$.

   $x+x=3+4$

   $2x=7\ \Longrightarrow\ x=\frac{7}{2}$

3. 3

   Rama 2: $x-4=-(3-x)$. Se reparte el signo menos:

   $x-4=-3+x$

   Restar $x$ en ambos lados deja

   $-4=-3$

   que es falso para todo $x$. Esta rama no aporta soluciones: geométricamente, $y=x-4$ y $y=x-3$ son rectas paralelas que nunca se cortan.

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   Confirmar por la vía del desarrollo. Desarrollando ambos lados se obtiene

   $x^2-8x+16=9-6x+x^2$

   Los términos $x^2$ se cancelan y queda la ecuación lineal $-8x+16=9-6x$, es decir, $7=2x$, así que $x=\tfrac72$: la misma raíz única. Que se cancelen los $x^2$ es justamente el motivo de que la rama 2 quedara vacía.

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   Comprobar la respuesta. Con $x=\tfrac72$:

   $\left(\tfrac72-4\right)^2=\left(-\tfrac12\right)^2=\tfrac14$

   $\left(3-\tfrac72\right)^2=\left(-\tfrac12\right)^2=\tfrac14$

   Ambos lados valen $\tfrac14$, así que $x=\tfrac72$ es la raíz única.