Resuelve (3x − 2)(3x + 2) − 9(x − 1)x = 0.

Step-by-step solution

1. 1

   Desarrolla el primer producto con la identidad de la diferencia de cuadrados. La pareja $(3x-2)(3x+2)$ tiene la forma $(A-B)(A+B)$:

   $(3x-2)(3x+2) = (3x)^2 - 2^2 = 9x^2 - 4$

   Los términos cruzados $+6x$ y $-6x$ se cancelan, así que de esta parte no sale ningún término lineal.

2. 2

   Desarrolla el segundo producto.

   $9(x-1)x = 9(x^2 - x) = 9x^2 - 9x$

   Reparte el $9$ entre los dos términos; multiplicar solo el $x^2$ es un desliz frecuente.

3. 3

   Resta y observa cómo desaparecen los términos cuadráticos.

   $9x^2 - 4 - (9x^2 - 9x) = 9x^2 - 4 - 9x^2 + 9x = 9x - 4$

   Las dos expresiones llevan el mismo $9x^2$, así que la ecuación es lineal y no cuadrática — por eso tiene una sola solución en lugar de dos.

4. 4

   Resuelve la ecuación lineal resultante.

   $9x - 4 = 0 \ \Longrightarrow \ x = \frac{4}{9}$

5. 5

   Comprueba la raíz. En $x = \tfrac49$: el primer producto es $\left(\tfrac{12}{9} - 2\right)\left(\tfrac{12}{9} + 2\right) = \left(-\tfrac23\right)\left(\tfrac{10}{3}\right) = -\tfrac{20}{9}$, y el segundo es $9\left(\tfrac49 - 1\right)\tfrac49 = 9 \cdot \left(-\tfrac59\right)\cdot\tfrac49 = -\tfrac{20}{9}$. Su diferencia es $0 \ \checkmark$.