Resolver para x: 8/(8.9 − x) = (71 − x por √((8.9 − x)² − 64)/(8.9 − x))/71.

Step-by-step solution

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   Fijar primero el dominio. Hace falta que $8.9-x\neq0$ y que $(8.9-x)^2-64\ge0$, es decir $|8.9-x|\ge8$, lo que significa

   $x\le 0.9\qquad\text{o}\qquad x\ge 16.9$

   Todo candidato a raíz debe sobrevivir a esta prueba, y elevar al cuadrado más adelante fabricará raíces que no lo hacen.

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   Eliminar los dos denominadores. Multiplicando por $71$ y después por $8.9-x$:

   $568=71(8.9-x)-x\sqrt{(8.9-x)^2-64}$

   Como $71(8.9)=631.9$, esto se reordena en

   $x\sqrt{(8.9-x)^2-64}=631.9-71x-568=63.9-71x$

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   Factorizar el radicando como diferencia de cuadrados. Este es el paso que vuelve manejable el problema:

   $(8.9-x)^2-64=(8.9-x-8)(8.9-x+8)=(0.9-x)(16.9-x)$

   y, al mismo tiempo, $63.9-71x=71(0.9-x)$. El mismo factor $0.9-x$ aparece en ambos lados, así que la ecuación es

   $x\sqrt{(0.9-x)(16.9-x)}=71(0.9-x)$

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   Leer de regalo la primera solución. Si $0.9-x=0$ los dos lados valen cero, así que $x=0.9$ es una solución exacta. Comprobación en la original: $\tfrac{8}{8}=1$ a la izquierda y, a la derecha, el radical vale $0$, lo que da $\tfrac{71-0}{71}=1$ ✓.

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   Tratar la rama restante. Para $x<0.9$ se tiene $0.9-x>0$, así que $\sqrt{(0.9-x)(16.9-x)}=\sqrt{0.9-x}\,\sqrt{16.9-x}$ y se cancela un factor $\sqrt{0.9-x}$:

   $x\sqrt{16.9-x}=71\sqrt{0.9-x}\ \Longrightarrow\ x^{2}(16.9-x)=5041(0.9-x)$

   $\Longrightarrow\ x^{3}-16.9x^{2}-5041x+4536.9=0$

   (La rama $x\ge16.9$ es imposible: allí el lado izquierdo es $\ge0$ mientras que $71(0.9-x)<0$.)

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   Resolver la cúbica y rechazar las raíces extrañas. Sus raíces son $-63.5486$, $0.8974433$ y $79.5511$. Elevar al cuadrado exigía $x>0$ y $x\le0.9$, así que la primera y la tercera son extrañas: al sustituirlas en la ecuación original se obtiene $-1.78$ y $-2.23$ en lugar de $0$. Solo

   $x=0.8974433$

   sobrevive, y reproduce la ecuación original hasta $10^{-8}$ ✓.

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   Enunciar las dos respuestas. El conjunto solución completo es $x=0.9$ y $x\approx0.8974433$. Nótese que $(x-0.9)$ por la cúbica reproduce exactamente la cuártica $x^4-17.8x^3-5025.79x^2+9073.8x-4083.21$, lo que confirma que no se perdió ninguna raíz.