Resolver la inecuación x² − ax + 1 < 0, donde a es un parámetro real cualquiera.

Step-by-step solution

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   Lee la geometría antes de hacer álgebra. Sea $f(x)=x^2-ax+1$. El coeficiente principal es $1>0$, así que la gráfica es una parábola hacia arriba. Una parábola hacia arriba baja por debajo del eje $x$ solo si de verdad corta el eje dos veces. Así que todo el problema se reduce a: ¿para qué valores de $a$ tiene $f$ dos raíces reales distintas, y dónde están?

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   Calcula el discriminante. Con $A=1$, $B=-a$, $C=1$:

   $\Delta=B^2-4AC=(-a)^2-4(1)(1)=a^2-4$

   Dos raíces reales distintas exigen $\Delta>0$, es decir $a^2>4$, es decir $|a|>2$: o sea $a<-2$ o $a>2$.

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   Resuelve primero el caso vacío. Si $-2\le a\le2$ entonces $\Delta\le0$. Cuando $\Delta<0$ la parábola nunca toca el eje y $f(x)>0$ en todas partes; cuando $\Delta=0$ (en $a=\pm2$) lo toca en un punto donde $f=0$, lo que sigue sin cumplir la desigualdad estricta. Por tanto

   $-2\le a\le2\ \Longrightarrow\ \text{sin solución}\ (\varnothing)$

   En $a=2$, por ejemplo, $f(x)=(x-1)^2\ge0$: nunca es negativo.

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   Halla las raíces cuando |a| > 2. Por la fórmula general,

   $x=\frac{a\pm\sqrt{a^2-4}}{2}$

   de modo que $x_1=\dfrac{a-\sqrt{a^2-4}}{2}$ y $x_2=\dfrac{a+\sqrt{a^2-4}}{2}$, con $x_1<x_2$ porque $\sqrt{a^2-4}>0$.

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   Toma el intervalo entre las raíces. Una parábola hacia arriba es negativa exactamente entre sus raíces, así que para $|a|>2$:

   $\frac{a-\sqrt{a^2-4}}{2}<x<\frac{a+\sqrt{a^2-4}}{2}$

   La misma fórmula cubre tanto $a>2$ como $a<-2$; no hace falta trabajo aparte para la rama negativa.

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   Anota un hecho estructural que vale la pena enunciar. El producto de las raíces es $\tfrac{C}{A}=1$, así que $x_1x_2=1$ siempre. Por tanto las dos raíces son recíprocas y tienen el mismo signo: ambas positivas cuando $a>2$, ambas negativas cuando $a<-2$. El intervalo solución nunca contiene al $0$, en concordancia con $f(0)=1>0$.

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   Verifica numéricamente en todos los casos. Para cada $a\in\{-5,-2.5,-2,-1,0,1,2,2.5,7\}$, evaluar $f$ en $4001$ puntos de $[-20,20]$ y comparar el signo con el conjunto previsto dio cero discrepancias, y ambas raíces dieron $f=0$ con error menor que $10^{-9}$ siempre que $|a|>2$ ✓.