Sean Z1 y Z2 números complejos tales que el conjugado de Z1 por el inverso de Z2 es igual a 2, y (1 − i)(conjugado de Z1 + 3) = 4 Z2. Halla el módulo de (Z2 por Z1 al cubo) dividido entre (−Z2).

Step-by-step solution

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   Simplifica primero la expresión pedida. Como $Z_2\ne 0$ (tiene inverso), los factores $Z_2$ se cancelan: $\frac{Z_2Z_1^{3}}{-Z_2}=-Z_1^{3},\qquad\left|-Z_1^{3}\right|=|-1|\,|Z_1|^{3}=|Z_1|^{3}.$ Así que solo hace falta el módulo de $Z_1$, y nunca hay que hallar $Z_2$ en forma polar.

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   Usa la primera ecuación para eliminar $Z_2$. De $\dfrac{\overline{Z_1}}{Z_2}=2$ se obtiene $\overline{Z_1}=2Z_2$, es decir, $Z_2=\dfrac{\overline{Z_1}}{2}$.

3. 3

   Sustituye en la segunda ecuación. Escribiendo $w=\overline{Z_1}$, $(1-i)(w+3)=4\cdot\frac{w}{2}=2w\ \Longrightarrow\ (1-i)w+3-3i=2w.$

4. 4

   Resuelve la ecuación lineal para $w$. Agrupando $w$: $3-3i=\bigl(2-(1-i)\bigr)w=(1+i)w$, de donde $w=\frac{3-3i}{1+i}=\frac{3(1-i)^2}{(1+i)(1-i)}=\frac{3(-2i)}{2}=-3i.$

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   Recupera $Z_1$ y verifica los datos. De $\overline{Z_1}=-3i$ se obtiene $Z_1=3i$ y $Z_2=-\tfrac{3i}{2}$. Comprobación: $\overline{Z_1}/Z_2=(-3i)/(-1.5i)=2$, y $(1-i)(-3i+3)=3(1-i)^2=-6i=4(-1.5i)$. Las dos ecuaciones se cumplen.

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   Toma el módulo. $|Z_1|=|3i|=3$, así que la respuesta es $|Z_1|^{3}=3^{3}=27$.