Resuelve la desigualdad 1 + 11/(2 elevado a x, menos 8) + 28/(4 elevado a x, menos 2 elevado a (x+4), más 64) ≥ 0.

Step-by-step solution

1. 1

   Sustituye t = 2ˣ y reescribe cada exponencial en términos de t. Como $2^x > 0$ para todo $x$ real, toma $t = 2^x$ con $t > 0$. Entonces

   $4^x = (2^x)^2 = t^2, \qquad 2^{x+4} = 2^4 \cdot 2^x = 16t$

   La reescritura clave es $2^{x+4} = 16t$, y no $t + 16$: el exponente suma, así que la base multiplica.

2. 2

   Reconoce el segundo denominador como un cuadrado perfecto.

   $4^x - 2^{x+4} + 64 = t^2 - 16t + 64 = (t - 8)^2$

   Ahora los dos denominadores involucran la misma cantidad $t - 8$, y eso es lo que hace que todo el problema se derrumbe. Escribe $u = t - 8$, con lo que la desigualdad queda

   $1 + \frac{11}{u} + \frac{28}{u^2} \ge 0, \qquad u \ne 0$

3. 3

   Multiplica todo por u², cosa legítima porque es positivo. Como $u \ne 0$, se tiene $u^2 > 0$, así que multiplicar no invierte la desigualdad:

   $u^2 + 11u + 28 \ge 0 \ \Longleftrightarrow \ (u + 4)(u + 7) \ge 0$

   Por eso compensa escribir los denominadores como un cuadrado y su raíz: no hace falta ninguna tabla de signos sobre las fracciones.

4. 4

   Resuelve la desigualdad cuadrática en u. Una parábola con las ramas hacia arriba es no negativa fuera de sus raíces $u = -7$ y $u = -4$:

   $u \le -7 \quad \text{o} \quad u \ge -4, \qquad u \ne 0$

5. 5

   Vuelve atrás mediante u = t − 8 y t = 2ˣ. De $u \le -7$:

   $t \le 1 \ \Rightarrow \ 2^x \le 2^0 \ \Rightarrow \ x \le 0$

   De $u \ge -4$:

   $t \ge 4 \ \Rightarrow \ 2^x \ge 2^2 \ \Rightarrow \ x \ge 2$

   Las dos usan que $2^x$ es creciente, de modo que el sentido de la desigualdad se conserva. La condición $t > 0$ es automática y no impone nada adicional.

6. 6

   Quita el punto excluido y enuncia la respuesta. La restricción $u \ne 0$ significa $t \ne 8$, es decir $x \ne 3$, donde se anulan los dos denominadores originales. Por lo tanto

   $x \in (-\infty, 0] \cup [2, 3) \cup (3, \infty)$

   Las comprobaciones numéricas puntuales lo confirman: en $x = -1$ el miembro izquierdo vale $+0.0311$, en $x = 0$ vale exactamente $0$, en $x = 1$ vale $-0.0556$, en $x = 2$ vale exactamente $0$ y en $x = 4$ vale $+2.8125$.