Resolver la inecuación (10^x − 25·2^x − 2·5^x + 50)/(5x − x² − 4) ≥ 0.

Step-by-step solution

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   Descomponer $10^x$ en sus bases primas. Como $10=2\cdot 5$, se tiene $10^x=2^x\cdot 5^x$. El numerador queda $2^x5^x-25\cdot 2^x-2\cdot 5^x+50$: cuatro términos que están pidiendo una agrupación.

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   Factorizar el numerador por agrupación. Se agrupa como $2^x(5^x-25)-2(5^x-25)$, que se factoriza en $(2^x-2)(5^x-25)$. Sus ceros son $2^x=2\Rightarrow x=1$ y $5^x=25\Rightarrow x=2$.

3. 3

   Factorizar el denominador. $5x-x^2-4=-(x^2-5x+4)=-(x-1)(x-4)=(x-1)(4-x)$. Se anula en $x=1$ y $x=4$, así que ambos valores quedan excluidos del dominio. Nótese que $x=1$ es cero del numerador y del denominador, así que nunca puede ser solución.

4. 4

   Seguir el signo de cada factor. Numerador: $2^x-2<0$ para $x<1$ y $5^x-25<0$ para $x<2$, así que el numerador es positivo en $(-\infty,1)$, negativo en $(1,2)$ y positivo en $(2,\infty)$. El denominador $(x-1)(4-x)$ es negativo en $(-\infty,1)$, positivo en $(1,4)$ y negativo en $(4,\infty)$.

5. 5

   Combinar los signos región por región. $(-\infty,1)$: $+/-=-$. $(1,2)$: $-/+=-$. $(2,4)$: $+/+=+$. $(4,\infty)$: $+/-=-$. Solo $(2,4)$ hace positivo el cociente, y $x=2$ da numerador $0$ con denominador distinto de cero, así que se incluye.

6. 6

   Probar un punto de muestra y el extremo. En $x=3$ el numerador vale $1000-200-250+50=600$ y el denominador $15-9-4=2$, lo que da $300\ge 0$, tal como se predijo. En $x=2$ el numerador vale $100-100-50+50=0$ sobre un denominador de $2$, así que el cociente es exactamente $0$ y la desigualdad no estricta se cumple.