Un estudiante divide x³ - 2x² - 10x + 21 entre x² + x - 7 usando una tabla de división. La primera entrada del cociente es x y la segunda entrada se llama A. ¿Cuál es el valor de A?

Step-by-step solution

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   Entender qué es una entrada de la tabla de división. Una tabla de división es la división larga reorganizada en una cuadrícula: cada entrada del cociente se elige de modo que, al multiplicarla por el término principal del divisor, reproduzca el término principal actual de lo que queda del dividendo. Así que $A$ no tiene nada de misterioso: es el segundo término del cociente.

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   Recuperar la primera entrada para confirmar el planteamiento. Se divide el término principal del dividendo entre el término principal del divisor:

   $\frac{x^3}{x^2} = x$

   Esto coincide con la primera entrada dada, así que la tabla se está rellenando de izquierda a derecha del modo habitual.

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   Multiplicar hacia atrás y restar. Se multiplica todo el divisor por esa primera entrada y se resta el producto del dividendo — este es el paso que elimina el término $x^3$:

   $x(x^2 + x - 7) = x^3 + x^2 - 7x$

   $(x^3 - 2x^2 - 10x + 21) - (x^3 + x^2 - 7x) = -3x^2 - 3x + 21$

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   Repetir la división de los términos principales para obtener $A$. El nuevo dividendo empieza con $-3x^2$, y el divisor sigue empezando con $x^2$:

   $A = \frac{-3x^2}{x^2} = -3$

   Es una constante, no $-3x$, porque los grados se cancelan exactamente.

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   Terminar la tabla y comprobar el resto. Al multiplicar hacia atrás se obtiene $-3(x^2 + x - 7) = -3x^2 - 3x + 21$, que al restarse da $0$. Así que la división es exacta:

   $x^3 - 2x^2 - 10x + 21 = (x^2 + x - 7)(x - 3)$

   Desarrollar el lado derecho reproduce el dividendo término a término, lo que confirma tanto el cociente $x - 3$ como el valor $A = -3$.