Resolver la desigualdad −7 > 3x(x − 2).

Step-by-step solution

1. 1

   Desarrollar el miembro derecho.

   $3x(x-2)=3x^2-6x\quad\Longrightarrow\quad -7>3x^2-6x$

2. 2

   Reordenar hasta la forma estándar. Se lleva todo al lado que mantiene positivo el $x^2$; restando $-7$ e invirtiendo la lectura queda

   $3x^2-6x+7<0$

   (Leer $-7>E$ como $E<-7$ es la misma afirmación, solo escrita con la expresión primero.)

3. 3

   Calcular el discriminante. Con $a=3$, $b=-6$, $c=7$:

   $\Delta=(-6)^2-4(3)(7)=36-84=-48<0$

   No hay raíces reales, así que no hay cambios de signo en ninguna parte.

4. 4

   Identificar el signo constante. Como $a=3>0$, la parábola abre hacia arriba y se queda por encima del eje. Completar el cuadrado lo cuantifica:

   $3x^2-6x+7=3(x-1)^2+4\ge 4$

5. 5

   Concluir y comprobar. Una cantidad que siempre vale al menos $4$ nunca es negativa, así que la desigualdad no tiene solución. Comprobación puntual en el vértice $x=1$: $3(1)(1-2)=-3$, y $-7>-3$ es falso $\checkmark$ — incluso en el punto más favorable la desigualdad falla.