Resuelve x²(x⁴ + 104x² + 40x) = 10000. Halla todas las soluciones reales con seis decimales.

Step-by-step solution

1. 1

   Desarrolla y pasa todo a un lado. Distribuyendo el $x^{2}$:

   $x^{2}\cdot x^{4}+x^{2}\cdot 104x^{2}+x^{2}\cdot 40x=x^{6}+104x^{4}+40x^{3},$

   de modo que la ecuación queda

   $f(x)=x^{6}+104x^{4}+40x^{3}-10000=0.$

   Observa que no hay término en $x^{5}$, $x^{2}$ ni $x$ — el polinomio es hueco, pero no tiene la forma ($x^{6}+bx^{3}+c$) que una sustitución $u=x^{3}$ sí reduciría, y la culpa es del $104x^{4}$.

2. 2

   Descarta las raíces racionales. El teorema de la raíz racional solo admite divisores de $10000$: $\pm1,\pm2,\pm4,\pm5,\pm8,\pm10,\pm16,\pm20,\pm25,\ldots$ Al probar los pequeños,

   $f(2)=64+1664+320-10000=-7952,\qquad f(3)=729+8424+1080-10000=233,$

   $f(-3)=729+8424-1080-10000=-1927,\qquad f(-4)=4096+26624-2560-10000=18160.$

   Ninguno se anula, y tampoco existe factorización en cuadráticas racionales, así que las raíces hay que hallarlas numéricamente.

3. 3

   Acota los cambios de signo: son dos, no uno. Los cuatro valores anteriores ya revelan ambos:

   $f(-4)>0>f(-3)\quad\text{y}\quad f(2)<0<f(3),$

   así que, por el teorema del valor intermedio, hay una raíz en $(-4,-3)$ y otra en $(2,3)$. Al barrer $f$ sobre $[-10,10]$ con paso $0.001$ se encuentran exactamente esos dos cambios de signo, de modo que la ecuación de sexto grado tiene dos raíces reales (las otras cuatro son complejas). Detenerse tras la raíz positiva — el error fácil — hace perder la mitad de la respuesta.

4. 4

   Biseca cada intervalo hasta la precisión completa. Partiendo el intervalo por la mitad una y otra vez y quedándose con la mitad donde $f$ cambia de signo:

   $x_{+}\in(2,3)\to 2.982928,\qquad x_{-}\in(-4,-3)\to-3.152475.$

   Cada uno converge hasta $|f|<10^{-11}$ tras unas 40 bisecciones. Un valor citado de $2.9833$ resulta algo burdo: $f(2.9833)\approx +5.04$, no $0$.

5. 5

   Sustituye las dos raíces de vuelta. En $x=2.982928$: $x^{2}=8.897859$ y $x^{4}+104x^{2}+40x=79.172+925.377+119.317=1123.87$, cuyo producto es $10000.0$ ✓. En $x=-3.152475$: $x^{2}=9.938099$ y el paréntesis vale $1006.23$, lo que otra vez da $10000.0$ ✓. Las dos raíces no son simétricas por culpa del término de potencia impar $40x^{3}$.