Resolver la inecuación (x + 1)(x − 4) ≤ 1/4.

Step-by-step solution

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   Pasar primero todo a un mismo lado. Un producto solo se lee con comodidad cuando está comparado con cero, y aquí el lado derecho es $\tfrac14$, no $0$, así que la forma factorizada de la izquierda no sirve de nada de entrada. Se desarrolla y se reordena:

   $x^{2}-3x-4\le \frac14\quad\Longrightarrow\quad x^{2}-3x-\frac{17}{4}\le 0$

2. 2

   Quitar la fracción. Multiplicar por el número positivo $4$ deja intacto el sentido de la desigualdad:

   $4x^{2}-12x-17\le 0$

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   Hallar las raíces con la fórmula general.

   $x=\frac{12\pm\sqrt{144-4(4)(-17)}}{8}=\frac{12\pm\sqrt{144+272}}{8}=\frac{12\pm\sqrt{416}}{8}$

   Como $416=16\times 26$, resulta $\sqrt{416}=4\sqrt{26}$, así que

   $x=\frac{12\pm 4\sqrt{26}}{8}=\frac{3\pm\sqrt{26}}{2}$

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   Usar hacia dónde abre la parábola. El coeficiente de $x^2$ es $4>0$, así que la parábola abre hacia arriba y es $\le 0$ entre sus raíces (con los extremos incluidos, porque la desigualdad no es estricta):

   $\boxed{\frac{3-\sqrt{26}}{2}\le x\le \frac{3+\sqrt{26}}{2}}$

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   Dar la forma decimal y probar un punto. Como $\sqrt{26}\approx 5.0990$, el intervalo es aproximadamente $[-1.0495,\ 4.0495]$. Probando el punto medio $x=1.5$: $(2.5)(-2.5)=-6.25\le 0.25$ ✓. Probando $x=5$: $(6)(1)=6>0.25$ ✗, como cabía esperar fuera del intervalo.

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   Notar lo cerca que quedan los extremos de la conjetura evidente. La forma factorizada tienta a responder $-1\le x\le 4$, que es la solución de $(x+1)(x-4)\le 0$. El $\tfrac14$ adicional empuja cada extremo hacia fuera unos $0.05$: poco, pero los extremos exactos son irracionales, no $-1$ y $4$.