Grafica f(x) = x² + 1, indicando su vértice, su eje de simetría y su recorrido.

Step-by-step solution

1. 1

   Reconoce la función madre y la transformación. Escrita en forma de vértice $a(x-h)^2+k$, la función es $1\cdot(x-0)^2+1$, así que $a=1$, $h=0$, $k=1$. Es decir: se toma la parábola madre $y=x^2$ y se desplaza 1 unidad hacia arriba. Nada se estira ni se refleja, ya que $a=1$.

2. 2

   Lee el vértice, el eje y la orientación. El vértice es $(h,k)=(0,1)$ y el eje de simetría es la recta vertical $x=h=0$ (el eje $y$). Como $a=1>0$, la parábola abre hacia arriba, de modo que el vértice es un mínimo.

3. 3

   Construye una pequeña tabla simétrica de valores.

   $f(-2)=5,\quad f(-1)=2,\quad f(0)=1,\quad f(1)=2,\quad f(2)=5$

   Los valores de $y$ que se repiten en parejas simétricas ($\pm1\mapsto 2$, $\pm2\mapsto 5$) son una comprobación directa de que el eje es efectivamente $x=0$.

4. 4

   Revisa las intersecciones con los ejes. Hacer $x=0$ da la intersección con el eje $y$ en $(0,1)$. Para las intersecciones con el eje $x$, $x^2+1=0$ exige $x^2=-1$, que no tiene solución real — así que la curva nunca cruza el eje $x$. Eso es exactamente lo que predice el valor mínimo $1>0$.

5. 5

   Describe la gráfica terminada. Marca $(0,1)$, después $(\pm1,2)$ y $(\pm2,5)$, y únelos con una U suave abierta hacia arriba, del mismo ancho que $y=x^2$. Dominio: todos los números reales. Recorrido: $y\ge 1$, es decir $[1,\infty)$.