Simplifique (1 − 2√(b/a) + b/a) dividido entre (√a − √b) al cuadrado.

Step-by-step solution

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   Lea el numerador como un cuadrado perfecto. Ponga $u=\sqrt{b/a}$. Entonces $b/a=u^{2}$ y el numerador es

   $1-2u+u^{2}=(1-u)^{2}=\left(1-\sqrt{\tfrac{b}{a}}\right)^{2}.$

   Detectar el patrón de cuadrado $1-2u+u^{2}$ es todo el truco; sin él, los radicales nunca se cancelan.

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   Reescriba ese cuadrado con un común denominador. Como $\sqrt{b/a}=\sqrt b/\sqrt a$ cuando $a>0$,

   $1-\frac{\sqrt b}{\sqrt a}=\frac{\sqrt a-\sqrt b}{\sqrt a},\qquad\text{de modo que}\qquad\left(1-\sqrt{\tfrac ba}\right)^{2}=\frac{(\sqrt a-\sqrt b)^{2}}{a}.$

   Observe que $(\sqrt a)^{2}=a$: de ahí sale la $a$ solitaria de la respuesta final.

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   Divida entre el denominador. El denominador es $\left(a^{1/2}-b^{1/2}\right)^{2}=(\sqrt a-\sqrt b)^{2}$, exactamente el factor que ahora está en el numerador:

   $\frac{(\sqrt a-\sqrt b)^{2}/a}{(\sqrt a-\sqrt b)^{2}}=\frac{1}{a}.$

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   Enuncie las condiciones que hacen legal la cancelación. Hizo falta $a>0$ para $\sqrt a$ y para $\sqrt{b/a}=\sqrt b/\sqrt a$; $b\ge0$ para $\sqrt b$; y $a\ne b$ para que $(\sqrt a-\sqrt b)^{2}\ne0$ y la división esté definida. Bajo esas condiciones el valor es $1/a$, totalmente independiente de $b$.

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   Pruebe con números. Tome $a=9$, $b=4$. El numerador es $1-2\sqrt{4/9}+4/9=1-\tfrac43+\tfrac49=\tfrac19$; el denominador es $(3-2)^{2}=1$; el cociente es $\tfrac19=1/a$. Con $a=4$, $b=25$: numerador $1-2(2.5)+6.25=2.25$, denominador $(2-5)^{2}=9$, cociente $0.25=1/4$. Los dos coinciden.