Resuelve el sistema x + y − 3z = 0, 2x(6 − x) + 4y(3 − y) + 6z(0.5 − z) = 0 y x² + 2y² + 3z² = 21.

Step-by-step solution

1. 1

   Desarrolla la ecuación central y separa la parte lineal de la cuadrática.

   $12x - 2x^2 + 12y - 4y^2 + 3z - 6z^2 = 0$

   $\Longrightarrow \ 12x + 12y + 3z = 2x^2 + 4y^2 + 6z^2$

   El miembro cuadrático es exactamente $2\left(x^2 + 2y^2 + 3z^2\right)$: la misma combinación que aparece en la tercera ecuación. Esa coincidencia es todo el sentido del problema.

2. 2

   Sustituye la tercera ecuación para eliminar todos los términos cuadráticos. Como $x^2 + 2y^2 + 3z^2 = 21$:

   $12x + 12y + 3z = 2(21) = 42$

   Lo que parecía una ecuación no lineal se ha vuelto lineal.

3. 3

   Usa la primera ecuación para reducirlo todo a z. De $x + y = 3z$:

   $12(3z) + 3z = 42 \ \Longrightarrow \ 39z = 42 \ \Longrightarrow \ z = \frac{42}{39} = \frac{14}{13}$

4. 4

   Reduce el problema a una sola cuadrática en y. Con $z = \tfrac{14}{13}$ se obtiene $x + y = 3z = \tfrac{42}{13}$ y

   $3z^2 = 3\cdot\frac{196}{169} = \frac{588}{169}, \qquad x^2 + 2y^2 = 21 - \frac{588}{169} = \frac{3549 - 588}{169} = \frac{2961}{169}$

   (ojo: $21 \times 169 = 3549$; usar aquí $3559$ es un desliz que se propaga y lleva a raíces equivocadas). Sustituyendo $x = \tfrac{42}{13} - y$ y multiplicando todo por $169$:

   $1764 - 1092y + 507y^2 = 2961 \ \Longrightarrow \ 507y^2 - 1092y - 1197 = 0$

5. 5

   Resuelve la cuadrática. Dividiendo entre $3$ queda $169y^2 - 364y - 399 = 0$, con discriminante

   $364^2 + 4(169)(399) = 132496 + 269724 = 402220 = 26^2 \cdot 595$

   de modo que

   $y = \frac{364 \pm 26\sqrt{595}}{338} = \frac{14 \pm \sqrt{595}}{13}$

   El discriminante no es un cuadrado perfecto ($595 = 5 \cdot 7 \cdot 17$), así que las raíces son irracionales: cualquier respuesta en fracciones limpias como $7/13$ está mal.

6. 6

   Recupera x y verifica ambas soluciones. De $x = \tfrac{42}{13} - y = \dfrac{28 \mp \sqrt{595}}{13}$, las dos soluciones son

   $\left(\frac{28 - \sqrt{595}}{13},\ \frac{14 + \sqrt{595}}{13},\ \frac{14}{13}\right) \approx (0.27749,\ 2.95328,\ 1.07692)$

   $\left(\frac{28 + \sqrt{595}}{13},\ \frac{14 - \sqrt{595}}{13},\ \frac{14}{13}\right) \approx (4.03020,\ -0.79943,\ 1.07692)$

   Sustituir cualquiera de las dos ternas en las tres ecuaciones originales deja residuos por debajo de $10^{-14}$.