Resuelve x^3 - 245.711x^2 + 2.764156x + 0.138128 = 0.

Step-by-step solution

1. 1

   Separa primero las escalas. En $x^{3}-245.711x^{2}+2.764156x+0.138128=0$, Vieta da suma de raíces $245.711$ y producto de raíces $-0.138128$. Una suma grande con un producto casi nulo significa una raíz dominante más dos pequeñas, y el truco estándar consiste en descartar el término que resulte despreciable en cada régimen.

2. 2

   Halla las dos raíces pequeñas descartando $x^{3}$. Si $|x|$ es de solo unas centésimas, entonces $x^{3}$ es del orden de $10^{-5}$, completamente despreciable al lado de $245.711x^{2}$. Al eliminarlo queda la cuadrática $245.711x^{2}-2.764156x-0.138128=0,$ cuyo discriminante es $D=(-2.764156)^{2}+4(245.711)(0.138128)=143.3988344243,\qquad \sqrt{D}=11.9749252367.$ La fórmula general da entonces $x\approx -0.018743095\quad\text{y}\quad x\approx 0.029992718.$

3. 3

   Refina esas dos con un paso de Newton. El término $x^{3}$ descartado desplaza cada raíz en la séptima cifra decimal, y aplicar el método de Newton $x\mapsto x-\dfrac{f(x)}{f'(x)}$ a la cúbica completa converge a $x=-0.018742545\qquad\text{y}\qquad x=0.029994971.$ Comparadas con las estimaciones de la cuadrática, las correcciones son de solo $5.5\times 10^{-7}$ y $2.3\times 10^{-6}$, que es exactamente lo que prometía «descartar $x^{3}$»: el término despreciado era del orden de $10^{-5}$ frente a un término $245.711x^{2}$ del orden de $10^{-1}$.

4. 4

   Obtén la raíz grande con la suma de raíces, no con la fórmula de la cúbica. Como las tres raíces deben sumar $245.711$, $x_{\text{grande}}=245.711-\left(-0.018742545+0.029994971\right)=245.699747574.$ Sustituir este valor en $f(x)=x^{3}-245.711x^{2}+2.764156x+0.138128$ devuelve cero con doce cifras significativas.

5. 5

   Verifica con las dos relaciones de Vieta. Las tres raíces $-0.018742545$, $0.029994971$ y $245.699747574$ suman exactamente $245.711000000$ y su producto es $-0.138128$, que coincide con $-c$ como debe ser. La comprobación del producto es la que importa aquí: un par de raíces pequeñas puede estar mal y aun así satisfacer la suma, porque la raíz grande simplemente absorbe la diferencia - solo el producto delata el error.

6. 6

   Escribe el conjunto solución. $x=-0.018742545,\qquad x=0.029994971,\qquad x=245.699747574.$ Las tres raíces son reales, coherente con una cúbica que cruza el eje una vez justo por debajo de cero, otra justo por encima y otra muy lejos, en $245.7$.