El conjunto solución de a(x − 1)/(x − 2) > 2 es A, y 3 no pertenece a A. Halla el rango de a.

Step-by-step solution

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   Resistir la tentación de resolver la desigualdad en general. Determinar $A$ para cada valor de $a$ exigiría un cuadro de signos con casos según el signo de $a$ y según el polo en $x=2$. Pero la pregunta solo se refiere a un único punto, así que conviene evaluar ahí: ese es todo el atajo.

2. 2

   Comprobar que $x=3$ es admisible. La expresión solo queda indefinida en $x=2$. Como $3\ne 2$, el punto $x=3$ está en el dominio, así que "$3\notin A$" significa realmente que la desigualdad no se cumple en $x=3$, y no que esté indefinida ahí.

3. 3

   Sustituir $x=3$.

   $\frac{a(3-1)}{3-2}=\frac{2a}{1}=2a$

   de modo que la pertenencia de $3$ a $A$ equivale exactamente a la afirmación $2a>2$.

4. 4

   Negar la condición de pertenencia. $3\notin A$ significa que la desigualdad estricta no se cumple:

   $2a>2\ \text{es falso}\iff 2a\le 2\iff a\le 1$

   La negación de una desigualdad estricta incluye la igualdad, así que $a=1$ está permitido: hace que el lado izquierdo valga exactamente $2$, que no es mayor que $2$.

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   Verificar en la frontera y justo fuera de ella. Con $a=1$: $\tfrac{1(3-1)}{3-2}=2$, y $2>2$ es falso, así que $3\notin A\;\checkmark$. Con $a=1.5$: el valor es $3>2$, así que $3\in A$ — correctamente excluido. Con $a=0$: el valor es $0>2$, falso, así que $3\notin A\;\checkmark$. Por lo tanto el rango es $a\le 1$.