Resuelve x³ + 12x² + 48x + 72 = 0.

Step-by-step solution

1. 1

   Prueba el patrón de cubo perfecto. Los coeficientes $1,12,48$ encajan con $(x+b)^{3}=x^{3}+3bx^{2}+3b^{2}x+b^{3}$ tomando $3b=12$, o sea $b=4$; entonces $3b^{2}=48$ ✓. La única discrepancia está en el término constante:

   $(x+4)^{3}=x^{3}+12x^{2}+48x+64,$

   mientras que el enunciado trae $72$. Detectar ese «casi acierto» es toda la idea: la cúbica no es un cubo perfecto, pero sí es uno más una constante.

2. 2

   Reescríbela como un cubo desplazado. Como $72=64+8$,

   $x^{3}+12x^{2}+48x+72=(x+4)^{3}+8,$

   así que la ecuación es

   $(x+4)^{3}+8=0\;\Longrightarrow\;(x+4)^{3}=-8.$

   Esta única reescritura convierte una cúbica en algo resoluble en un solo paso.

3. 3

   Toma la raíz cúbica real. A diferencia de una raíz cuadrada, la raíz cúbica de un número negativo es un número real perfectamente válido, y además único:

   $x+4=\sqrt[3]{-8}=-2.$

   Aquí no hay ningún $\pm$: la función $t\mapsto t^{3}$ es estrictamente creciente, así que es inyectiva en los reales.

4. 4

   Despeja $x$. Restando $4$:

   $x=-2-4=-6.$

   Esta es la única raíz real; las otras dos son complejas y salen de la factorización $(x+4)^{3}+2^{3}=(x+6)\left((x+4)^{2}-2(x+4)+4\right)$ mediante la identidad de la suma de cubos, cuyo factor cuadrático $x^{2}+6x+12$ tiene discriminante $36-48=-12<0$.

5. 5

   Comprueba sustituyendo. Con $x=-6$:

   $(-6)^{3}+12(36)+48(-6)+72=-216+432-288+72=0 ✓.$

   También sirve una comprobación estructural: $(-6+4)^{3}+8=(-2)^{3}+8=-8+8=0$ ✓.