Resolver la inecuación |3x + 1| − 2x < |x − 4| + 5.

Step-by-step solution

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   Halla los puntos de quiebre. Cada valor absoluto cambia de fórmula donde se anula su interior: $3x+1=0$ en $x=-\frac13$ y $x-4=0$ en $x=4$. Estos dos puntos cortan la recta real en tres tramos, y en cada uno de ellos se pueden quitar las dos barras con signos fijos.

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   Caso 1: $x<-\frac13$. Los dos interiores son negativos, así que $|3x+1|=-3x-1$ y $|x-4|=-x+4$:

   $(-3x-1)-2x<(-x+4)+5\quad\Rightarrow\quad -5x-1<-x+9\quad\Rightarrow\quad -10<4x\quad\Rightarrow\quad x>-\frac52$

   Al intersecar con $x<-\frac13$ queda $-\frac52<x<-\frac13$.

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   Caso 2: $-\frac13\le x<4$. Ahora $3x+1\ge 0$ pero $x-4<0$:

   $3x+1-2x<-x+4+5\quad\Rightarrow\quad x+1<-x+9\quad\Rightarrow\quad 2x<8\quad\Rightarrow\quad x<4$

   Ese es exactamente el tramo en el que ya estamos, así que sirve el intervalo entero $\left[-\frac13,4\right)$.

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   Caso 3: $x\ge 4$. Los dos interiores son no negativos:

   $3x+1-2x<x-4+5\quad\Rightarrow\quad x+1<x+1$

   Los dos miembros son idénticamente iguales, y ningún número es estrictamente menor que sí mismo. Así que este caso no aporta nada; fíjate en que con $\le$ en lugar de $<$ toda la semirrecta $x\ge 4$ habría servido.

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   Une los casos.

   $\left(-\tfrac52,-\tfrac13\right)\cup\left[-\tfrac13,4\right)=\left(-\tfrac52,4\right)$

   El punto de quiebre $-\frac13$ queda en el interior de la unión, así que allí no se pierde nada.

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   Prueba los extremos y un punto interior. En $x=-\frac52$ los dos miembros valen $\frac{23}{2}$, así que la desigualdad estricta falla y el extremo se excluye. En $x=4$ los dos miembros valen $5$, también excluido, en coherencia con el caso 3. En $x=0$: izquierda $=1$, derecha $=9$, y $1<9$ se cumple ✓. La solución es $-\frac52<x<4$.