Simplifica (b − 1)/(b + √b − 1) por el recíproco de (√b + 1)/(b√b − 1), y después suma 2√b.

Step-by-step solution

1. 1

   Quita el exponente negativo invirtiendo la fracción. Para cualquier fracción no nula, $\left(\tfrac{u}{v}\right)^{-1}=\tfrac{v}{u}$, así que

   $\left(\frac{\sqrt{b}+1}{b\sqrt{b}-1}\right)^{-1}=\frac{b\sqrt{b}-1}{\sqrt{b}+1}$

   y la expresión se convierte en un producto simple más un término:

   $\frac{b-1}{b+\sqrt{b}-1}\cdot\frac{b\sqrt{b}-1}{\sqrt{b}+1}+2\sqrt{b}$

2. 2

   Sustituye $x=\sqrt{b}$ para que todo sea polinómico. Esta es la jugada clave: los radicales bloquean las identidades de factorización habituales, pero con $x=\sqrt{b}\ (x>0)$ se tiene $b=x^2$ y $b\sqrt{b}=x^3$, y la expresión se convierte en

   $\frac{x^2-1}{x^2+x-1}\cdot\frac{x^3-1}{x+1}+2x$

3. 3

   Factoriza y cancela. Ahora sí se aplican las identidades estándar:

   $x^2-1=(x-1)(x+1),\qquad x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)$

   así que el producto es

   $\frac{(x-1)(x+1)}{x^2+x-1}\cdot\frac{(x-1)(x^2+x+1)}{x+1}=\frac{(x-1)^2(x^2+x+1)}{x^2+x-1}$

   El $x+1$ se cancela; fíjate en que $x^2+x-1$ (el denominador) no es lo mismo que $x^2+x+1$, así que no se cancela nada más.

4. 4

   Suma $2x$ sobre el común denominador. Escribe $2x=\dfrac{2x(x^2+x-1)}{x^2+x-1}$ y combina:

   $\frac{(x-1)^2(x^2+x+1)+2x(x^2+x-1)}{x^2+x-1}$

   Desarrolla el numerador:

   $(x^2-2x+1)(x^2+x+1)=x^4-x^3-x+1$

   $2x(x^2+x-1)=2x^3+2x^2-2x$

   $\text{suma}=x^4+x^3+2x^2-3x+1$

5. 5

   Comprueba que la fracción está realmente irreducible. Al dividir $x^4+x^3+2x^2-3x+1$ entre $x^2+x-1$ queda cociente $x^2+3$ y resto $-6x+4\neq 0$, así que la división no es exacta y no cabe ninguna cancelación adicional.

6. 6

   Deshaz la sustitución e indica el dominio. Con $x^2=b$, $x^3=b\sqrt{b}$, $x^4=b^2$:

   $\frac{b^2+b\sqrt{b}+2b-3\sqrt{b}+1}{b+\sqrt{b}-1}$

   Esto vale para $b>0$ con $b\neq 1$ (para que $b\sqrt{b}-1\neq 0$) y $b\neq\frac{3-\sqrt{5}}{2}\approx 0.382$ (para que $b+\sqrt{b}-1\neq 0$). Una comprobación numérica en $b=2$ da $3.142136$ tanto con la expresión original como con la simplificada.