Factoriza x³ − 3x² + 5x + 1 sobre los racionales o demuestra que no se puede factorizar, y determina cuántas raíces reales tiene.

Step-by-step solution

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   Enumera y prueba las raíces racionales candidatas. El término independiente es $1$ y el coeficiente principal es $1$, así que las únicas candidatas son $x=\pm1$:

   $f(1)=1-3+5+1=4,\qquad f(-1)=-1-3-5+1=-8$

   Ninguna es cero. Sin raíz racional no hay factor lineal racional y, como toda factorización de una cúbica tiene que contener un factor lineal, el polinomio es irreducible sobre $\mathbb{Q}$.

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   Deriva para estudiar la forma de la curva.

   $f'(x)=3x^2-6x+5$

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   Demuestra que la derivada no se anula nunca. Su discriminante es

   $(-6)^2-4(3)(5)=36-60=-24<0$

   así que $f'$ no tiene raíces reales y, como su coeficiente principal $3$ es positivo, $f'(x)>0$ para todo $x$ real. Completando el cuadrado queda a la vista: $3x^2-6x+5=3(x-1)^2+2\ge2>0$.

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   Concluye que hay exactamente una raíz real. Una función estrictamente creciente corta a cualquier recta horizontal como mucho una vez, y una cúbica tiene que cortar a $y=0$ al menos una vez. Así que $f$ tiene exactamente una raíz real y, por tanto, dos raíces complejas conjugadas. Fíjate en el contraste con $x^3-5x^2+3x+2$, que también es irreducible sobre $\mathbb{Q}$ pero tiene tres raíces reales: la irreducibilidad no dice nada sobre cuántas raíces son reales.

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   Localiza la raíz real. Como $f(-1)=-8<0$ y $f(0)=1>0$, la raíz está en $(-1,0)$. Bisecando sobre una malla fina se obtiene

   $x\approx-0.1795$

   Comprobación: $f(-0.1795)=-0.00578+(-0.09666)+(-0.8975)+1=0.0000557$ — prácticamente cero ✓.

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   Verifica las dos afirmaciones numéricamente. Al recorrer $200{,}001$ puntos sobre $[-10,10]$ se encuentra exactamente un cambio de signo ✓, y $f'(x)=3x^2-6x+5$ evaluada en $2000$ puntos de $-10$ a $10$ es positiva en todos ellos, con valor mínimo $2$ en $x=1$ ✓.