Halla el cociente de (3x² − 4x − 1) dividido entre (x − 2).

Step-by-step solution

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   Plantear la división larga. Se escribe el dividendo $3x^2-4x-1$ en potencias decrecientes (ya lo está) y se divide entre $x-2$. En cada etapa solo se compara el término principal de lo que queda.

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   Primer paso de la división. $\dfrac{3x^2}{x}=3x$, así que el primer término del cociente es $3x$. Se multiplica hacia atrás: $3x(x-2)=3x^2-6x$. Se resta: $(3x^2-4x)-(3x^2-6x)=2x$, y se baja el $-1$ para obtener $2x-1$.

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   Segundo paso de la división. $\dfrac{2x}{x}=2$, así que el siguiente término del cociente es $2$. Se multiplica hacia atrás: $2(x-2)=2x-4$. Se resta: $(2x-1)-(2x-4)=3$.

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   Parar y leer el resultado. Lo que sobra, $3$, tiene grado $0$, menor que el grado $1$ del divisor, así que la división termina. El cociente es $3x+2$ y el resto es $3$.

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   Escribir la forma mixta. $\dfrac{3x^2-4x-1}{x-2}=3x+2+\dfrac{3}{x-2}$. Como el resto no es cero, $x-2$ no es un factor del dividendo.

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   Confirmar con el teorema del resto y multiplicando hacia atrás. Sustituir $x=2$ en el dividendo da $3(4)-8-1=3$, que coincide con el resto. Al desarrollar, $(x-2)(3x+2)+3=3x^2+2x-6x-4+3=3x^2-4x-1$, el dividendo original.