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Algebra · real student question

Simplifica 8(2t(1 − t²) − 2t(−t² − 1)) / (1 − t²)² − 10(1 − t²) / (t² + 1)².

Question

Simplificar

8(2t(1−t2)−2t(−t2−1))(1−t2)2−10(1−t2)(t2+1)2\frac{8\left(2t\left(1-t^2\right)-2t\left(-t^2-1\right)\right)}{\left(1-t^2\right)^2}-\frac{10\left(1-t^2\right)}{\left(t^2+1\right)^2}

Step-by-step solution

  1. Limpiar el paréntesis interior antes que nada. El numerador de la primera fracción esconde una gran cancelación; desarrollarlo primero reduce el problema de forma drástica:

    2t(1−t2)=2t−2t3,2t(−t2−1)=−2t3−2t2t\left(1-t^2\right)=2t-2t^3,\qquad 2t\left(-t^2-1\right)=-2t^3-2t

  2. Restar, distribuyendo el signo menos sobre los dos términos.

    (2t−2t3)−(−2t3−2t)=2t−2t3+2t3+2t=4t\left(2t-2t^3\right)-\left(-2t^3-2t\right)=2t-2t^3+2t^3+2t=4t

    Los términos cúbicos se cancelan por completo: el paréntesis es simplemente 4t4t.

  3. Reconstruir la primera fracción. Multiplicando por el 88 exterior:

    8⋅4t(1−t2)2=32t(1−t2)2\frac{8\cdot 4t}{\left(1-t^2\right)^2}=\frac{32t}{\left(1-t^2\right)^2}

    así que la expresión ahora es

    32t(1−t2)2−10(1−t2)(1+t2)2\frac{32t}{\left(1-t^2\right)^2}-\frac{10\left(1-t^2\right)}{\left(1+t^2\right)^2}

  4. Revisar si los dos denominadores comparten algún factor. (1−t2)2=(1−t)2(1+t)2\left(1-t^2\right)^2=(1-t)^2(1+t)^2, mientras que (1+t2)2\left(1+t^2\right)^2 es irreducible sobre los reales. No tienen factor común, así que el mínimo común denominador es simplemente su producto:

    (1−t2)2(1+t2)2\left(1-t^2\right)^2\left(1+t^2\right)^2

  5. Escribir todo sobre el común denominador.

    32t(1+t2)2−10(1−t2)3(1−t2)2(1+t2)2\frac{32t\left(1+t^2\right)^2-10\left(1-t^2\right)^3}{\left(1-t^2\right)^2\left(1+t^2\right)^2}

    El numerador no se factoriza contra el denominador, así que hasta aquí llega la simplificación; la forma de dos fracciones suele ser la más útil.

  6. Verificar numéricamente. En t=2.1t=2.1 la expresión original, la forma de dos fracciones y la de una sola fracción valen todas 6.94419507046.9441950704; en t=−1.4t=-1.4 las tres dan −47.5154208262-47.5154208262. ✓\checkmark (Ambas formas quedan indefinidas en t=±1t=\pm 1.)

Answer

32t(1−t2)2−10(1−t2)(1+t2)2=32t(1+t2)2−10(1−t2)3(1−t2)2(1+t2)2\frac{32t}{\left(1-t^{2}\right)^{2}}-\frac{10\left(1-t^{2}\right)}{\left(1+t^{2}\right)^{2}}=\frac{32t\left(1+t^{2}\right)^{2}-10\left(1-t^{2}\right)^{3}}{\left(1-t^{2}\right)^{2}\left(1+t^{2}\right)^{2}}

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