Resolver la ecuación (1/3)(x − 3)² + (1/6)(x + 2)² = (x/2 − 1)(x/2 + 1) + (1/4)(x − 2)².

Step-by-step solution

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   Desarrollar el lado izquierdo. $(x-3)^2=x^2-6x+9$ y $(x+2)^2=x^2+4x+4$, así que el lado izquierdo queda $\frac{1}{3}x^2-2x+3+\frac{1}{6}x^2+\frac{2}{3}x+\frac{2}{3}$.

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   Agrupar términos semejantes en la izquierda. $\frac13x^2+\frac16x^2=\frac12x^2$; $-2x+\frac23x=-\frac43x$; $3+\frac23=\frac{11}{3}$. El lado izquierdo es $\frac12x^2-\frac43x+\frac{11}{3}$.

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   Desarrollar el lado derecho usando la diferencia de cuadrados. $\left(\frac12x-1\right)\left(\frac12x+1\right)=\frac14x^2-1$, y $\frac14(x-2)^2=\frac14x^2-x+1$. Al sumarlos se obtiene $\frac12x^2-x$, porque las constantes $-1$ y $+1$ se cancelan.

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   Notar que los términos cuadráticos coinciden. Ambos lados llevan exactamente $\frac12x^2$, así que al restarlo queda la ecuación lineal $-\frac43x+\frac{11}{3}=-x$. Por eso el problema es más fácil de lo que sugiere su grado: en realidad es lineal.

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   Resolver la ecuación lineal. Se suma $\frac43x$ a ambos lados: $\frac{11}{3}=-x+\frac43x=\frac13x$. Al multiplicar por $3$ se obtiene $x=11$.

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   Verificar sustituyendo $x=11$. Lado izquierdo: $\frac13(8)^2+\frac16(13)^2=\frac{64}{3}+\frac{169}{6}=\frac{297}{6}=\frac{99}{2}$. Lado derecho: $\left(\frac{9}{2}\right)\left(\frac{13}{2}\right)+\frac14(9)^2=\frac{117}{4}+\frac{81}{4}=\frac{198}{4}=\frac{99}{2}$. Los dos lados coinciden exactamente.