Hallar los puntos de intersección de la recta y = −4x + 2.5 y la curva y = 2.44x/(1 + 1.44x).

Step-by-step solution

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   Igualar las dos expresiones de y. En una intersección ambas fórmulas devuelven el mismo $y$, así que $-4x+2.5 = \frac{2.44x}{1+1.44x}.$ Nótese el polo en $1+1.44x=0$, es decir $x=-\tfrac{1}{1.44}=-0.6944\ldots$, que debe excluirse de cualquier respuesta.

2. 2

   Eliminar el denominador. Multiplicar ambos lados por $1+1.44x$ (válido lejos del polo) da $(-4x+2.5)(1+1.44x) = 2.44x$. Desarrollando el lado izquierdo: $-4x-5.76x^2+2.5+3.6x = -5.76x^2-0.4x+2.5$.

3. 3

   Reunir en la forma cuadrática estándar. Al pasar $2.44x$ al otro lado queda $-5.76x^2-2.84x+2.5=0$; multiplicar por $-1$, luego por $100$ y dividir entre dos da la forma entera $288x^2+142x-125=0.$ Con coeficientes enteros el discriminante sale exacto.

4. 4

   Resolver la cuadrática. $\Delta = 142^2+4(288)(125) = 20164+144000 = 164164 = 4\cdot 41041$, así que $x = \frac{-142 \pm 2\sqrt{41041}}{576} = \frac{-71 \pm \sqrt{41041}}{288}.$ Con $\sqrt{41041}\approx 202.58578$, resulta $x_1 \approx 0.456895$ y $x_2 \approx -0.949951$. Ninguno vale $-0.6944$, así que ambos superan la revisión del polo.

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   Obtener los valores de y con la recta. La recta es la sustitución más barata: $y_1 = -4(0.456895)+2.5 \approx 0.672420$ e $y_2 = -4(-0.949951)+2.5 \approx 6.299803$.

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   Verificar sobre la curva, no solo sobre la recta. $\dfrac{2.44(0.456895)}{1+1.44(0.456895)} \approx 0.672420$ y $\dfrac{2.44(-0.949951)}{1+1.44(-0.949951)} \approx 6.299803$: ambos coinciden, así que los dos puntos están de verdad en las dos gráficas. El segundo punto queda en la rama lejana de la hipérbola, más allá de la asíntota vertical.