Simplifique la expresión racional (x² + 3x − 10) / (x² − 4) e indique las restricciones sobre x.

Step-by-step solution

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   Factorice el numerador buscando la pareja con la suma y el producto correctos. Para $x^2 + 3x - 10$ hacen falta dos números cuyo producto sea $-10$ y cuya suma sea $3$: son $5$ y $-2$.

   $x^2 + 3x - 10 = (x+5)(x-2)$

2. 2

   Factorice el denominador como diferencia de cuadrados. $x^2 - 4 = x^2 - 2^2$, así que

   $x^2 - 4 = (x-2)(x+2)$

   Vale la pena detectar primero el patrón $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$: es más rápido que ponerse a buscar una pareja de factores.

3. 3

   Anote las restricciones antes de cancelar. La expresión original no está definida donde se anula el denominador, así que $x \neq 2$ y $x \neq -2$. Esto hay que escribirlo ahora, porque el paso siguiente borra la evidencia de $x = 2$.

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   Cancele el factor común. Arriba y abajo aparece $(x-2)$:

   $\frac{(x+5)(x-2)}{(x-2)(x+2)} = \frac{x+5}{x+2}$

   El $(x-2)$ cancelado deja un hueco evitable en la gráfica en $x = 2$: la forma simplificada sí tiene un valor ahí, $\tfrac{7}{4}$, pero la original no.

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   Verifique con un valor de prueba. En $x = 3$ la original da $\tfrac{9+9-10}{9-4} = \tfrac{8}{5} = 1.6$, y la forma simplificada da $\tfrac{3+5}{3+2} = \tfrac{8}{5} = 1.6$. Las dos coinciden en todas partes salvo en los puntos excluidos.