Resolver la inecuación x² − 7x − 6 > 0.

Step-by-step solution

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   Intenta factorizar y abandona pronto. Harían falta dos enteros de producto $-6$ y suma $-7$: los candidatos $(1,-6)$ suman $-5$ y $(-1,6)$ suman $5$, $(2,-3)$ suman $-1$ y $(-2,3)$ suman $1$. Ninguno sirve, así que las raíces no son racionales y hace falta la fórmula general.

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   Calcula el discriminante.

   $\Delta=(-7)^2-4(1)(-6)=49+24=73$

   $73$ es primo, y por tanto libre de cuadrados, así que $\sqrt{73}$ no se puede simplificar y las fronteras serán irracionales. $\Delta>0$ garantiza dos raíces reales distintas.

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   Halla las raíces.

   $x=\frac{7\pm\sqrt{73}}{2}$

   con $\sqrt{73}\approx 8.5440$, de modo que $x_1\approx -0.7720$ y $x_2\approx 7.7720$.

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   Usa el sentido de apertura. El coeficiente de $x^2$ es $+1>0$, así que la parábola abre hacia arriba y la expresión es positiva fuera de las raíces y negativa entre ellas:

   $x<\frac{7-\sqrt{73}}{2}\qquad\text{o}\qquad x>\frac{7+\sqrt{73}}{2}$

5. 5

   Prueba las regiones y resuelve el caso de los extremos. En $x=-1$: $1+7-6=2>0$ ✓ (región izquierda). En $x=0$: $-6$, que no cumple ✓ (región central excluida). En $x=8$: $64-56-6=2>0$ ✓ (región derecha). En cada raíz la expresión vale $0$, y la desigualdad es estricta, así que ninguna frontera se incluye.