Resuelve x⁵ + 30x⁴ + 75x³ − 3250x² − 15000x = 0.

Step-by-step solution

1. 1

   Saca el factor común evidente. Todos los términos contienen $x$:

   $x\left(x^4+30x^3+75x^2-3250x-15000\right)=0$

   así que $x=0$ es raíz de inmediato, y lo que queda por resolver es una cuártica.

2. 2

   Busca una raíz entera entre los divisores de 15000. Probando $x=10$ en la cuártica:

   $10000+30000+7500-32500-15000=0\;\checkmark$

   así que $(x-10)$ es factor. Probar sale barato y es decisivo; adivinar raíces grandes como $\pm 25$ sin evaluarlas es exactamente el modo en que se publican factorizaciones erróneas.

3. 3

   Divide y sigue factorizando. La división sintética de la cuártica entre $x-10$ deja

   $x^3+40x^2+475x+1500$

   y $x=-5$ satisface esta cúbica: $-125+1000-2375+1500=0\;\checkmark$. Dividiendo otra vez entre $x+5$ se obtiene la cuadrática

   $x^2+35x+300$

4. 4

   Factoriza la cuadrática final. Dos números con producto $300$ y suma $35$ son $15$ y $20$:

   $x^2+35x+300=(x+15)(x+20)$

   así que la factorización completa es

   $x^5+30x^4+75x^3-3250x^2-15000x=x(x-10)(x+5)(x+15)(x+20)$

5. 5

   Enumera las raíces y verifícalas todas.

   $x=0,\;10,\;-5,\;-15,\;-20$

   Dos comprobaciones independientes confirman el conjunto. Vieta: las raíces deben sumar $-30$, y $0+10-5-15-20=-30\;\checkmark$; el producto de las cuatro raíces no nulas debe coincidir con el término independiente de la cuártica, $-15000$, y $10\cdot(-5)\cdot(-15)\cdot(-20)=-15000\;\checkmark$. Resolver la quíntica numéricamente devuelve también exactamente $10,-20,-15,-5,0$.