Hallar todas las raíces de x⁴ - 16 = 0, tanto las reales como las complejas.

Step-by-step solution

1. 1

   Reconocer la diferencia de dos cuadrados. Los dos términos son cuadrados perfectos si se los mira de la forma correcta:

   $x^{4}=(x^{2})^{2},\qquad 16=4^{2},$

   así que la identidad $a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)$ se aplica con $a=x^{2}$ y $b=4$:

   $x^{4}-16=(x^{2}-4)(x^{2}+4).$

   Factorizar es mejor que extraer raíces cuartas directamente porque deja a la vista todas las raíces, incluidas las complejas.

2. 2

   Volver a factorizar donde se pueda. El primer paréntesis es otra diferencia de cuadrados:

   $x^{2}-4=(x-2)(x+2),$

   mientras que $x^{2}+4$ es una suma de cuadrados y no se factoriza sobre los números reales. La factorización real completa es, entonces,

   $x^{4}-16=(x-2)(x+2)(x^{2}+4).$

3. 3

   Aplicar la propiedad del producto nulo a los factores lineales. Un producto vale cero exactamente cuando alguno de sus factores vale cero:

   $x-2=0\Rightarrow x=2,\qquad x+2=0\Rightarrow x=-2.$

   Estas son las únicas dos raíces reales — que es lo esperable, ya que $x^{4}=16$ tiene exactamente dos soluciones reales, $\pm\sqrt[4]{16}=\pm 2$.

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   Tratar la cuadrática restante sobre los números complejos. Igualando $x^{2}+4=0$ se obtiene $x^{2}=-4$, que no tiene solución real pero sí dos imaginarias:

   $x=\pm 2i.$

   Así que sobre $\mathbb{C}$ la factorización completa es $(x-2)(x+2)(x-2i)(x+2i)$, y el polinomio de grado $4$ tiene exactamente $4$ raíces, tal como exige el teorema fundamental del álgebra.

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   Verificar cada raíz. $2^{4}=16$ ✓ y $(-2)^{4}=16$ ✓. Para el par imaginario, $(2i)^{4}=2^{4}i^{4}=16\cdot 1=16$ ✓ e igualmente $(-2i)^{4}=16$ ✓. Las cuatro raíces están sobre una circunferencia de radio $2$ en el plano complejo, separadas de manera uniforme cada $90^{\circ}$ — la imagen típica de las raíces cuartas de un número real positivo.