Resuelve para x: (2/5)x + 1014 + 4/5 = (5/9)x + 1019 + 4/9.

Step-by-step solution

1. 1

   Agrupar las constantes de cada miembro. Cada lado tiene un número entero más una fracción propia, y ambos se funden en números mixtos:

   $1014+\frac45=1014\tfrac45=\frac{5074}{5},\qquad 1019+\frac49=1019\tfrac49=\frac{9175}{9}.$

   Pasar ya a fracciones impropias hace que el resto del problema sea aritmética de fracciones pura, sin tener que llevar la cuenta de números mixtos.

2. 2

   Reunir los términos en $x$ en un miembro y las constantes en el otro. Restando $\tfrac25x$ y $\tfrac{9175}{9}$ en ambos miembros:

   $\frac{5074}{5}-\frac{9175}{9}=\left(\frac59-\frac25\right)x.$

   Mover el coeficiente menor, $\tfrac25$, mantiene positivo el coeficiente de $x$ y evita un cambio de signo más adelante.

3. 3

   Calcular el coeficiente de $x$. Sobre el denominador común $45$:

   $\frac59-\frac25=\frac{25}{45}-\frac{18}{45}=\frac{7}{45}.$

   Los denominadores $5$ y $9$ son primos entre sí, así que $45$ es el mínimo común denominador de todo el problema; ese mismo $45$ reaparecerá a la izquierda.

4. 4

   Calcular la diferencia de las constantes. De nuevo sobre $45$:

   $\frac{5074}{5}-\frac{9175}{9}=\frac{5074\cdot9-9175\cdot5}{45}=\frac{45666-45875}{45}=\frac{-209}{45}.$

   Conviene comprobar tanto $45666$ como $45875$: $5074\times9=45666$ y $9175\times5=45875$.

5. 5

   Resolver y comprobar de forma exacta. La ecuación es ahora $\frac{-209}{45}=\frac{7}{45}x$, y multiplicar ambos miembros por $45$ hace desaparecer los denominadores:

   $-209=7x\;\Longrightarrow\;x=-\frac{209}{7}\approx-29.857.$

   Como $209=11\times19$, la fracción no se simplifica. Sustituyendo con fracciones exactas: los dos miembros dan $\frac{7020}{7}$ ✓.