Resuelve la inecuación x² > a² para x, siendo a una constante.

Step-by-step solution

1. 1

   No «extraigas la raíz cuadrada de ambos miembros» sin pensar. Escribir $x>a$ pierde soluciones y puede ser lisa y llanamente falso: con $a=-3$, $x=-5$ cumple $25>9$ y sin embargo $-5>-3$ no es cierto. El signo de $a$ es desconocido, así que la respuesta debe expresarse de una forma que sirva para todo $a$.

2. 2

   Pasa todo a un miembro y factoriza. Esto sustituye la cuestión del signo por un producto de dos factores lineales:

   $x^{2}-a^{2}>0\qquad\Longrightarrow\qquad(x-a)(x+a)>0$

3. 3

   Un producto es positivo cuando los dos factores comparten signo: recorre las dos ramas.

   $\text{(i) }x-a>0\ \text{y}\ x+a>0\quad\Longrightarrow\quad x>a\ \text{y}\ x>-a$

   Dos cotas inferiores se combinan quedándose con la mayor: $x>\max(a,-a)=|a|$.

   $\text{(ii) }x-a<0\ \text{y}\ x+a<0\quad\Longrightarrow\quad x<a\ \text{y}\ x<-a$

   Dos cotas superiores se combinan quedándose con la menor: $x<\min(a,-a)=-|a|$.

4. 4

   Reúnelo todo en una sola afirmación. Las dos ramas dan

   $x^{2}>a^{2}\iff x<-|a|\ \text{ o }\ x>|a|\iff|x|>|a|$

   así que el conjunto solución es $\left(-\infty,-|a|\right)\cup\left(|a|,\infty\right)$. Los valores absolutos son lo que hace válida la respuesta cuando $a$ es negativo — la identidad $\max(a,-a)=|a|$ es el punto por donde entran.

5. 5

   Verifica con todos los signos, incluido el caso degenerado. Contrastar la inecuación original con el conjunto propuesto para $19$ valores de $a$ (positivos, negativos y cero) frente a $31$ valores de $x$ en cada caso da coincidencia total ✓. Cuando $a=0$ la respuesta se reduce a $|x|>0$, es decir, todo $x$ salvo $0$ ✓ — coherente, ya que $x^{2}>0$ solo falla en $x=0$.