Resuelve x³ − 59x² − 420x + 10800 = 0.

Step-by-step solution

1. 1

   Prueba primero el teorema de la raíz racional y deja que falle. Toda raíz racional de una cúbica mónica con coeficientes enteros debe ser un divisor entero del término constante $10800=2^{4}\cdot 3^{3}\cdot 5^{2}$. Probando los candidatos plausibles: $f(10)=1700$, $f(12)=-1008$, $f(15)=-5400$, $f(20)=-13200$, $f(-15)=450$, $f(-20)=-12400$. Ninguno se anula, y lo mismo ocurre con los demás divisores, así que no hay raíz racional ni factorización sobre los enteros: la cúbica hay que resolverla numéricamente.

2. 2

   Localiza las raíces por cambios de signo. Esas mismas evaluaciones de $f(x)=x^{3}-59x^{2}-420x+10800$ ya encierran todas las raíces. Como $f(-20)=-12400<0$ y $f(-15)=450>0$, hay una raíz en $(-20,-15)$. Como $f(11)=372>0$ y $f(12)=-1008<0$, hay una segunda en $(11,12)$. Y como $f(62)=-3708<0$ y $f(63)=216>0$, la tercera está en $(62,63)$. Tres cambios de signo en una cúbica significan que las tres raíces son reales y simples.

3. 3

   Afina cada intervalo con el método de Newton. Con $f'(x)=3x^{2}-118x-420$, iterar $x\mapsto x-\dfrac{f(x)}{f'(x)}$ desde el punto medio de cada intervalo converge en unos pocos pasos a $x_{1}=-15.219737190,\qquad x_{2}=11.273122422,\qquad x_{3}=62.946614768.$ La derivada está cómodamente lejos de cero en cada raíz ($2070.85$, $-1368.98$ y $4039.13$), así que Newton converge sin problemas.

4. 4

   Verifica con las tres relaciones de Vieta, no solo con la suma. Para $x^{3}+ax^{2}+bx+c$ las raíces cumplen $\sum r_{i}=-a$, $\sum_{i<j}r_{i}r_{j}=b$ y $r_{1}r_{2}r_{3}=-c$. Nuestros valores dan $\sum r_{i}=59.000000,\qquad \sum_{i<j}r_{i}r_{j}=-420.000000,\qquad r_{1}r_{2}r_{3}=-10800.000000,$ que coinciden exactamente con $59$, $-420$ y $-10800$. Comprobar solo la suma no basta: un par de raíces equivocado puede sumar bien y tener el producto muy desviado.

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   Escribe la respuesta. $x\approx -15.219737,\qquad x\approx 11.273122,\qquad x\approx 62.946615.$ La enorme separación entre ellas es lo que anunciaban los coeficientes: un comportamiento dominante $x^{3}-59x^{2}$ empuja una raíz más allá de $60$, mientras la constante grande $10800$ mantiene las otras dos comparativamente pequeñas.