Halla los números reales x que cumplen a la vez las dos inecuaciones: x² + x − 6 < 0 y x² + 4x − 12 > 0.

Step-by-step solution

1. 1

   Resuelve cada inecuación por separado antes de combinarlas. Un sistema de inecuaciones es una intersección, así que el plan es: obtener el conjunto solución de cada renglón y quedarse solo con los valores de $x$ que estén en ambos. Empieza factorizando la primera:

   $x^{2}+x-6=(x+3)(x-2)$

   Las raíces son $x=-3$ y $x=2$.

2. 2

   Lee el primer conjunto solución a partir de la forma de la parábola. El coeficiente principal es $+1$, así que la parábola abre hacia arriba y baja por debajo del eje estrictamente entre sus raíces:

   $(x+3)(x-2)<0\quad\Longleftrightarrow\quad -3<x<2$

3. 3

   Factoriza y resuelve la segunda inecuación. Busca la pareja de números que multiplican $-12$ y suman $4$, que es $6$ y $-2$:

   $x^{2}+4x-12=(x+6)(x-2)$

   Las raíces son $x=-6$ y $x=2$. Esta vez queremos la expresión por encima del eje, lo que en una parábola hacia arriba ocurre fuera de las raíces:

   $x<-6\quad\text{o}\quad x>2$

4. 4

   Interseca los dos conjuntos. Los valores candidatos deben estar en $(-3,2)$ y también en $(-\infty,-6)\cup(2,\infty)$:

   $(-3,2)\cap(-\infty,-6)=\varnothing$

   porque todo número menor que $-6$ ya es menor que $-3$. Y

   $(-3,2)\cap(2,\infty)=\varnothing$

   porque $(-3,2)$ se detiene justo antes de $2$ mientras que el otro conjunto empieza justo después. La raíz común $x=2$ queda excluida por ambas desigualdades estrictas, así que no puede salvar la intersección.

5. 5

   Enuncia la conclusión. Ningún número real cumple ambas inecuaciones, así que el conjunto solución es vacío:

   $x\in\varnothing$

   Un barrido de todos los $x$ de $-10$ a $10$ con paso $0.001$ no encuentra ningún valor que pase las dos pruebas, lo que concuerda con este resultado.