Desarrolla y factoriza (ax + by + ay)² + (bx − ay)(ax + by + ay) + (bx − ay)².

Step-by-step solution

1. 1

   Ponles nombre a los dos bloques repetidos para que se vea la forma. Toma

   $A=ax+by+ay,\qquad B=bx-ay$

   Entonces toda la expresión es simplemente

   $A^2+AB+B^2$

   Esa forma no admite factorización en $A$ y $B$ por sí solos, así que la ganancia tiene que venir de aquello de lo que están hechos $A$ y $B$. Desarrolla todo y agrupa.

2. 2

   Desarrolla $A^2$ término a término. Con tres sumandos salen tres cuadrados y tres dobles productos:

   $A^2=a^2x^2+b^2y^2+a^2y^2+2abxy+2a^2xy+2aby^2$

   Fíjate en el $2a^2xy$: viene de $2(ax)(ay)$ y es el término que más se pierde. Perderlo cambia la respuesta final.

3. 3

   Desarrolla el producto cruzado $AB$ y el cuadrado $B^2$.

   $AB=(ax+by+ay)(bx-ay)=abx^2-a^2xy+b^2xy-aby^2+abxy-a^2y^2$

   $B^2=(bx-ay)^2=b^2x^2-2abxy+a^2y^2$

4. 4

   Agrupa los tres bloques de monomios $x^2$, $xy$, $y^2$. Llevar la columna del $xy$ con honestidad es todo el ejercicio:

   $x^2:\quad a^2+ab+b^2$

   $xy:\quad \underbrace{2ab+2a^2}_{A^2}\ \underbrace{-a^2+b^2+ab}_{AB}\ \underbrace{-2ab}_{B^2}=a^2+ab+b^2$

   $y^2:\quad \underbrace{b^2+a^2+2ab}_{A^2}\ \underbrace{-ab-a^2}_{AB}\ \underbrace{+a^2}_{B^2}=a^2+ab+b^2$

   Las tres columnas dan el coeficiente idéntico $a^2+ab+b^2$.

5. 5

   Saca ese coeficiente común como factor. Como cada bloque arrastra el mismo factor,

   $A^2+AB+B^2=(a^2+ab+b^2)\left(x^2+xy+y^2\right)$

6. 6

   Verifica con números antes de confiarte. Toma $a=2$, $b=3$, $x=4$, $y=5$. Entonces $A=2(4)+3(5)+2(5)=33$ y $B=3(4)-2(5)=2$, de modo que

   $A^2+AB+B^2=1089+66+4=1159$

   y la forma factorizada da $(4+6+9)(16+20+25)=19\cdot 61=1159$. Concuerdan, lo que además descarta el descuido habitual de escribir el coeficiente de $xy$ como $-a^2+ab+b^2$.