Resolver la desigualdad (|x − 2| − x) / (x² − 4) ≤ 0 y dar la solución en notación de intervalos.

Step-by-step solution

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   Excluir los puntos donde la expresión no está definida. Una fracción solo está definida cuando su denominador es distinto de cero. Aquí $x^2-4=(x-2)(x+2)$, así que

   $x\ne 2\quad\text{y}\quad x\ne -2.$

   Estos dos puntos nunca pueden pertenecer al conjunto solución, sin importar lo que haga el numerador: un signo $\le$ jamás rescata a un denominador nulo.

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   Separar el valor absoluto en su punto de quiebre. $|x-2|$ cambia de fórmula en $x=2$: vale $x-2$ cuando $x\ge 2$ y $2-x$ cuando $x<2$. Como toda la desigualdad se comporta distinto a cada lado, conviene resolverla por separado en cada caso y luego unir los resultados. Se hace algebraicamente y no probando números sueltos, para que no se escape nada entre los puntos de prueba.

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   Caso 1: $x>2$. Aquí $|x-2|=x-2$, de modo que el numerador se reduce a una constante:

   $\frac{(x-2)-x}{x^2-4}=\frac{-2}{x^2-4}.$

   Para $x>2$ el denominador $x^2-4$ es positivo, así que la fracción es negativa para todo valor de ese tipo. Toda la semirrecta $(2,+\infty)$ cumple la desigualdad (con $x=2$ excluido por el paso 1).

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   Caso 2: $x<2$. Aquí $|x-2|=2-x$, por lo que el numerador es $2-2x=2(1-x)$ y

   $\frac{2(1-x)}{(x-2)(x+2)}\le 0.$

   El numerador se anula en $x=1$ y es positivo para $x<1$; el factor $x-2$ es negativo en todo este caso; el factor $x+2$ cambia de signo en $x=-2$.

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   Armar la tabla de signos del Caso 2. Se parte la recta en los valores críticos $-2$ y $1$:

   intervalo	$2(1-x)$	$x-2$	$x+2$	fracción
   $x<-2$	$+$	$-$	$-$	$+$
   $-2<x<1$	$+$	$-$	$+$	$-$
   $1<x<2$	$-$	$-$	$+$	$+$

   Solo $-2<x<1$ hace negativa la fracción. En $x=1$ el numerador vale $0$ mientras que el denominador es $-3\ne 0$, de modo que la fracción vale $0$ — y $0\le 0$ es verdadero, así que $x=1$ sí se incluye.

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   Unir los dos casos. Combinando $(-2,1]$ del Caso 2 con $(2,+\infty)$ del Caso 1:

   $(-2,\,1]\ \cup\ (2,\,+\infty).$

   Una verificación rápida lo confirma: en $x=0$ el valor es $-0.5$ (verdadero), en $x=1.5$ es $+0.571$ (falso), en $x=3$ es $-0.4$ (verdadero) y en $x=-2.5$ es $+3.11$ (falso).