Resolver la ecuación x − 1/x = 3.

Step-by-step solution

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   Anotar la restricción del dominio antes de multiplicar. El término $\tfrac1x$ exige $x\neq0$. Registrarlo ahora importa: multiplicar toda la ecuación por $x$ solo es reversible cuando $x\neq0$, y cualquier raíz que resultara ser $0$ habría que descartarla por extraña.

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   Eliminar el denominador. Se multiplica cada término por $x$:

   $x\cdot x-x\cdot\frac{1}{x}=3x\qquad\Longrightarrow\qquad x^{2}-1=3x$

   El término central queda exactamente en $-1$, porque $x\cdot\tfrac1x=1$. Hay que multiplicar todos los términos, incluido el $3$ del lado derecho.

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   Reordenar en forma estándar. Se resta $3x$ en ambos lados:

   $x^{2}-3x-1=0$

   de modo que $a=1$, $b=-3$, $c=-1$.

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   Aplicar la fórmula general.

   $x=\frac{3\pm\sqrt{(-3)^{2}-4(1)(-1)}}{2}=\frac{3\pm\sqrt{9+4}}{2}=\frac{3\pm\sqrt{13}}{2}$

   El discriminante $13$ es positivo, pero no es un cuadrado perfecto, así que hay dos raíces irracionales distintas y no existe ninguna factorización entera.

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   Comprobar que ninguna raíz queda excluida. Numéricamente $x\approx3.3028$ y $x\approx-0.3028$; ninguna vale $0$, así que ambas superan la restricción del dominio. Al sustituir cada una en la ecuación original $x-\tfrac1x$ se obtiene $3$ con un error inferior a $10^{-12}$ ✓: comprobar contra la original, y no contra la versión ya despejada, es lo que delata las raíces extrañas.

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   Confirmar con Vieta. Las raíces deben sumar $-b/a=3$: $\dfrac{3+\sqrt{13}}{2}+\dfrac{3-\sqrt{13}}{2}=3$ ✓. Y su producto debe valer $c/a=-1$: $\dfrac{9-13}{4}=-1$ ✓. Que el producto sea $-1$ dice además que las dos raíces son recíprocas con signos opuestos, una consecuencia elegante de la forma $x-\tfrac1x$ de la ecuación.