Resuelve la inecuación (2 − 3x)(2x + 1) ≥ 0.

Step-by-step solution

1. 1

   Déjala factorizada: no la desarrolles. La expresión ya es un producto de dos factores lineales, y el signo de un producto queda determinado por completo por los signos de sus factores. Desarrollarla hasta $-6x^2+x+2$ solo complicaría el trabajo.

2. 2

   Halla dónde se anula cada factor.

   $2-3x=0\Rightarrow x=\frac23,\qquad 2x+1=0\Rightarrow x=-\frac12$

   Estos puntos críticos parten la recta en $\left(-\infty,-\tfrac12\right)$, $\left(-\tfrac12,\tfrac23\right)$ y $\left(\tfrac23,\infty\right)$.

3. 3

   Prueba un punto de cada intervalo. En $x=-1$: $(2+3)(-2+1)=(5)(-1)=-5<0$. En $x=0$: $(2)(1)=2>0$. En $x=1$: $(-1)(3)=-3<0$. Así que el patrón es negativo, positivo, negativo.

4. 4

   Explica el patrón a partir del coeficiente principal. Al desarrollar quedaría un término principal $-6x^2$, es decir, una parábola hacia abajo. Una parábola hacia abajo es positiva entre sus raíces y negativa fuera de ellas: la imagen especular del caso habitual. Escribir aquí "fuera de las raíces" por puro reflejo es el error clásico.

5. 5

   Incluye los extremos porque la desigualdad no es estricta. En $x=-\tfrac12$ y en $x=\tfrac23$ el producto vale exactamente $0$, lo que cumple $\ge0$. Así que la solución es el intervalo cerrado

   $-\frac12\le x\le\frac23$

6. 6

   Verifica barriendo valores. Al evaluar el producto en $6001$ puntos desde $-3$ hasta $3$ y compararlo con el intervalo afirmado, coincide en todos los puntos ✓, y los dos extremos devuelven exactamente $0$ ✓.