Halla la raíz de la ecuación (5x − 8)² − 25x² = 0.

Step-by-step solution

1. 1

   Desarrolla el cuadrado.

   $(5x-8)^2 = 25x^2 - 80x + 64$

   de modo que la ecuación pasa a ser $25x^2 - 80x + 64 - 25x^2 = 0$.

2. 2

   Observa cómo se cancelan los términos cuadráticos. $25x^2 - 25x^2 = 0$, y queda

   $-80x + 64 = 0$

   La ecuación solo parecía cuadrática; como los dos términos al cuadrado llevan el mismo coeficiente $25$, en realidad es lineal y tiene exactamente una raíz, no dos.

3. 3

   Resuelve la ecuación lineal.

   $80x = 64 \quad\Longrightarrow\quad x = \frac{64}{80} = \frac{4}{5} = 0.8$

4. 4

   Confírmalo por la vía de la diferencia de cuadrados. Factorizando en lugar de desarrollar:

   $(5x-8)^2 - (5x)^2 = \left[(5x-8) - 5x\right]\left[(5x-8) + 5x\right] = (-8)(10x - 8)$

   Igualar esto a cero exige $10x - 8 = 0$, es decir, $x = 0.8$: el factor constante $-8$ no puede anularse nunca, que es otra forma de ver que solo hay una raíz.

5. 5

   Verifica. En $x = 0.8$: $(4 - 8)^2 - 25(0.64) = 16 - 16 = 0$. Correcto.