Resuelve la raíz cuadrada de (x al cuadrado − 6x + 25) igual a 3 menos x.

Step-by-step solution

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   Anota la condición del dominio. Una raíz cuadrada nunca es negativa, así que toda solución debe cumplir $3-x \ge 0 \quad\Longleftrightarrow\quad x \le 3.$ Saltarse este paso es lo que permite que sobrevivan raíces extrañas en problemas de este tipo.

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   Eleva al cuadrado los dos lados. $x^2-6x+25 = (3-x)^2 = 9-6x+x^2.$

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   Cancela los términos que coinciden. Tanto $x^2$ como $-6x$ aparecen en los dos lados y se cancelan, dejando $25 = 9.$

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   Interpreta la contradicción. Ningún valor de $x$ puede hacer que $25$ sea igual a $9$, así que la ecuación elevada al cuadrado - y por lo tanto también la original - no tiene solución.

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   Confírmalo geométricamente. $\sqrt{x^2-6x+25} = \sqrt{(x-3)^2+16}$ es la distancia de $(x,0)$ a $(3,4)$, que siempre vale al menos $4$; en cambio $3-x$ tendría que igualarla, y comparar $\sqrt{(x-3)^2+16}$ con $3-x$ da $(x-3)^2+16 > (3-x)^2$ para todo $x$. El lado izquierdo es estrictamente mayor, siempre.

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   Contrasta con el problema hermano. Si se reemplaza el lado derecho por la constante $5$ queda $\sqrt{x^2-6x+25}=5$, que sí tiene soluciones: $x=0$ y $x=6$. Es el lado derecho variable lo que crea la contradicción aquí.