Factoriza por completo la expresión (x + 1)⁴ + (x + 3)⁴ − 82.

Step-by-step solution

1. 1

   Sustituir en el punto medio para que la expresión quede simétrica. Las dos bases $x+1$ y $x+3$ están centradas en $x+2$, así que tomando $y=x+2$ pasan a ser $y-1$ y $y+1$. Desarrollar directamente en $x$ produciría una cuártica engorrosa; esta elección es la que hace que se cancelen los términos impares:

   $(y-1)^4+(y+1)^4-82$

2. 2

   Desarrollar y observar cómo se cancelan las potencias impares.

   $(y-1)^4=y^4-4y^3+6y^2-4y+1,\qquad (y+1)^4=y^4+4y^3+6y^2+4y+1$

   $(y-1)^4+(y+1)^4=2y^4+12y^2+2$

   de modo que la expresión queda $2y^4+12y^2+2-82=2y^4+12y^2-80=2\left(y^4+6y^2-40\right)$.

3. 3

   Tratar el paréntesis como una cuadrática en $t=y^2$. Con $t=y^2$,

   $t^2+6t-40=(t+10)(t-4)$

   ya que $10\cdot(-4)=-40$ y $10+(-4)=6$. De vuelta en $y$: $\left(y^2+10\right)\left(y^2-4\right)$.

4. 4

   Factorizar la diferencia de cuadrados y detenerse en la pieza irreducible. $y^2-4=(y-2)(y+2)$, mientras que $y^2+10$ no tiene raíces reales y se mantiene intacto:

   $2\left(y^2+10\right)(y-2)(y+2)$

5. 5

   Deshacer la sustitución $y=x+2$. $y-2=x$, $y+2=x+4$ y $y^2+10=(x+2)^2+10=x^2+4x+14$:

   $2x(x+4)\left(x^2+4x+14\right)$

6. 6

   Verificar evaluando ambas formas en varios enteros. Al comprobar $x=-8,\dots,8$, la expresión original $(x+1)^4+(x+3)^4-82$ y $2x(x+4)(x^2+4x+14)$ coinciden en cada uno de esos $17$ puntos, muchos más que los $5$ que hacen falta para determinar una cuártica, así que la factorización es exacta.