Resuelve la ecuación quíntica 40x⁵ − 51x⁴ + 10 = 0.

Step-by-step solution

1. 1

   Descarta las raíces racionales. Las candidatas son $\pm\tfrac{d}{e}$ con $d \mid 10$ y $e \mid 40$. Comprobaciones puntuales: $f(1) = -1$, $f(-1) = -81$, $f\!\left(\tfrac12\right) = \tfrac{129}{16} = 8.0625$, $f\!\left(-\tfrac12\right) = \tfrac{89}{16} = 5.5625$, $f\!\left(\tfrac54\right) = 7.5586$. Ninguna se anula y, por Abel–Ruffini, una quíntica general no tiene solución por radicales, así que las raíces hay que localizarlas numéricamente.

2. 2

   Acota las raíces reales con los cambios de signo. Tabulando $f(x) = 40x^5 - 51x^4 + 10$:

   $f(-1) = -81, \quad f(-0.7) = -8.968, \quad f(-0.5) = 5.563, \quad f(0) = 10, \quad f(0.9) = 0.159, \quad f(1) = -1, \quad f(1.1) = -0.249, \quad f(1.2) = 3.779$

   Cada cambio de signo atrapa una raíz: una en $(-0.7,\,-0.5)$, otra en $(0.9,\,1)$ y otra en $(1.1,\,1.2)$. Como $f \to -\infty$ cuando $x \to -\infty$ y $f \to +\infty$ cuando $x \to +\infty$, estas tres son todas las raíces reales.

3. 3

   Refina cada intervalo. La bisección o el método de Newton en cada uno converge a

   $x_1 \approx -0.603957, \qquad x_2 \approx 0.909281, \qquad x_3 \approx 1.110778$

4. 4

   Recupera el par conjugado que falta. Una quíntica tiene cinco raíces. Al deflactar con las tres reales queda una cuadrática cuyas raíces son

   $x \approx -0.070551 \pm 0.636284\,i$

5. 5

   Verifica con las relaciones entre coeficientes y raíces. La suma de las cinco raíces debe ser $\tfrac{51}{40} = 1.275$: $-0.603957 + 0.909281 + 1.110778 + 2(-0.070551) = 1.275000$. El producto debe ser $-\tfrac{10}{40} = -0.25$ (grado 5, así que el signo se invierte): $(-0.603957)(0.909281)(1.110778)\left(0.070551^2 + 0.636284^2\right) = -0.250000$. La sustitución directa da $|f(x_i)| < 10^{-4}$ para cada raíz real.

6. 6

   Una advertencia sobre unos valores erróneos muy difundidos. A veces se cita para esta ecuación la terna $-0.6487,\ 0.7606,\ 1.2264$, pero $f(-0.6487) = -3.63$, $f(0.7606) = 3.11$ y $f(1.2264) = 5.60$ — ninguno de ellos es raíz.