Resuelve x⁸ − 2x⁷ + 3x⁶ − 4x⁵ + 5x⁴ − 4x³ + 3x² − 2x + 2 = 0.

Step-by-step solution

1. 1

   Lee el patrón de los coeficientes. Los coeficientes son $1, -2, 3, -4, 5, -4, 3, -2, 2$: palindrómicos salvo el último, que es $2$ donde la simetría pediría $1$. Un patrón palindrómico de grado $8$ como $1, -2, 3, -4, 5, -4, 3, -2, 1$ es la firma de una cuártica elevada al cuadrado, así que conviene aislar primero esa pieza.

2. 2

   Identifica el cuadrado. Elevar al cuadrado la cuártica de signos alternados da exactamente el patrón simétrico:

   $\left(x^4 - x^3 + x^2 - x + 1\right)^2 = x^8 - 2x^7 + 3x^6 - 4x^5 + 5x^4 - 4x^3 + 3x^2 - 2x + 1$

   Comparando término a término con el polinomio dado, todos los coeficientes coinciden salvo la constante, que es mayor en exactamente $1$.

3. 3

   Reescribe todo el polinomio. Por tanto

   $P(x) = \left(x^4 - x^3 + x^2 - x + 1\right)^2 + 1$

   Esta identidad es la solución completa: vuelve trivial la pregunta sobre las raíces reales y entrega las complejas de forma limpia.

4. 4

   Concluye que no hay soluciones reales. Para $x$ real el cuadrado es no negativo, así que

   $P(x) \ge 0 + 1 = 1 > 0$

   para todo $x$ real. Por tanto la ecuación $P(x) = 0$ no tiene soluciones reales. Numéricamente, el mínimo de $P$ sobre los reales vale alrededor de $1.4537$ y se alcanza cerca de $x \approx 0.6058$, holgadamente por encima de cero, tal como predice la identidad.

5. 5

   Describe las raíces complejas. Sobre $\mathbb{C}$ la ecuación se convierte en

   $\left(x^4 - x^3 + x^2 - x + 1\right)^2 = -1 \ \Longleftrightarrow \ x^4 - x^3 + x^2 - x + 1 = \pm i$

   de modo que las ocho raíces se reparten en dos cuárticas. (La cuártica de la izquierda es el polinomio ciclotómico $\Phi_{10}$, igual a $\frac{x^5+1}{x+1}$.) Numéricamente las raíces son

   $x \approx -0.4661 \pm 0.7670i, \quad -0.2913 \pm 1.1399i, \quad 0.6631 \pm 0.8872i, \quad 1.0943 \pm 0.5143i$

   todas genuinamente no reales y en cuatro pares conjugados, como exige un polinomio con coeficientes reales.

6. 6

   Fíjate en lo que no funciona. El polinomio no tiene raíces racionales, y una búsqueda exhaustiva muestra que no se factoriza sobre los enteros ni como una cuadrática por una séxtica ni como producto de dos cuárticas. Así que la identidad del cuadrado más uno no es una vía entre varias: es la vía.