Supón que la variable proposicional p tiene valor de verdad 1. Determina todos los valores de verdad de q, r y s para los que (p → ((¬p ∨ r) ∧ ¬s)) ∧ (¬s → (¬r ∧ p)) tiene valor de verdad 1.

Step-by-step solution

1. 1

   Fíjate en que q no aparece nunca. La variable $q$ no figura en ninguna parte de la fórmula, así que su valor es irrelevante: la conclusión a la que se llegue valdrá tanto para $q=0$ como para $q=1$. Notarlo de entrada elimina la mitad del análisis por casos.

2. 2

   Reduce el primer miembro usando p = 1. Con $p=1$ se tiene $\neg p=0$, así que $\neg p\vee r=r$. Y como $1\to X\equiv X$,

   $p\to[(\neg p\vee r)\wedge\neg s]\;\equiv\;r\wedge\neg s$

   Para que la conjunción entera valga $1$, esto obliga a $r=1$ y $s=0$.

3. 3

   Reduce el segundo miembro usando p = 1. Aquí $\neg r\wedge p=\neg r$, así que

   $\neg s\to(\neg r\wedge p)\;\equiv\;\neg s\to\neg r\;\equiv\;s\vee\neg r$

4. 4

   Combina las dos exigencias. La fórmula vale $1$ exactamente cuando

   $(r\wedge\neg s)\wedge(s\vee\neg r)=1$

   El factor de la izquierda exige $r=1,\ s=0$; al sustituir esos valores en el factor de la derecha se obtiene $s\vee\neg r=0\vee 0=0$. Por tanto la conjunción vale $0$.

5. 5

   Concluye que la fórmula es insatisfacible con p = 1.

   $\boxed{\text{Ningún valor de }q,r,s\text{ hace verdadera la fórmula cuando }p=1}$

   En una versión de opción múltiple que liste $(r,s)=(0,1),(1,1),(1,0),(0,0)$, todas las opciones son erróneas.

6. 6

   Verifica con una tabla de verdad exhaustiva. Con $p=1$, contrasta las cuatro parejas $(r,s)$ con $(r\wedge\neg s)\wedge(s\vee\neg r)$: $(0,0)\to 0\wedge 1=0$; $(0,1)\to 0\wedge 1=0$; $(1,0)\to 1\wedge 0=0$; $(1,1)\to 0\wedge 1=0$. Las cuatro dan $0$, lo que confirma la reducción algebraica. De forma equivalente, $r\wedge\neg s$ y $s\vee\neg r=\neg(r\wedge\neg s)$ son negaciones exactas la una de la otra, así que su conjunción es una contradicción para cualquier $p$.