Resuelva el sistema 1/x + 1/y = −1 y 3/x − 2/y = 7.

Step-by-step solution

1. 1

   Sustituya los recíprocos por variables nuevas. Quitar los denominadores produciría términos cruzados cuadráticos $xy$. En lugar de eso, tome

   $a = \frac{1}{x}, \qquad b = \frac{1}{y}$

   El sistema queda perfectamente lineal:

   $a + b = -1, \qquad 3a - 2b = 7$

   Tanto $x$ como $y$ tienen que ser distintos de cero para que las ecuaciones originales tengan sentido, así que no se pierde nada.

2. 2

   Elimine una incógnita. De la primera ecuación, $a = -1 - b$. Sustituyendo en la segunda:

   $3(-1 - b) - 2b = 7 \quad\Longrightarrow\quad -3 - 5b = 7 \quad\Longrightarrow\quad b = -2$

3. 3

   Sustituya hacia atrás para hallar a.

   $a = -1 - (-2) = 1$

4. 4

   Deshaga la sustitución. Como $a = \tfrac1x = 1$, resulta $x = 1$, y como $b = \tfrac1y = -2$, resulta

   $y = -\frac{1}{2}$

   Los dos son distintos de cero, así que ambos son admisibles.

5. 5

   Compruebe en las ecuaciones originales. $\tfrac{1}{1} + \tfrac{1}{-1/2} = 1 - 2 = -1$ y $\tfrac{3}{1} - \tfrac{2}{-1/2} = 3 + 4 = 7$. Las dos se cumplen exactamente.