¿Cuál es el cociente de (x³ + 6x² + 11x + 6) ÷ (x² + 4x + 3)?

Step-by-step solution

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   Predice el grado del cociente antes de dividir. Los grados se restan: un dividendo de grado 3 sobre un divisor de grado 2 da un cociente de grado $3 - 2 = 1$. Así que la respuesta es una expresión lineal $x + c$, lo que descarta de inmediato cualquier opción constante o cuadrática.

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   Primera ronda: divide entre el término principal del divisor. Con un divisor cuadrático se divide entre $x^2$, no entre $x$:

   $\frac{x^3}{x^2} = x$

   Multiplica todo el divisor por $x$ y resta:

   $x(x^2 + 4x + 3) = x^3 + 4x^2 + 3x$

   $(x^3 + 6x^2 + 11x + 6) - (x^3 + 4x^2 + 3x) = 2x^2 + 8x + 6$

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   Segunda ronda: los grados se cancelan exactamente. Lo que queda encabeza con $2x^2$, del mismo grado que el divisor:

   $\frac{2x^2}{x^2} = 2$

   Así que el siguiente término del cociente es la constante $2$ — no $2x$. Este es el paso donde confundir el grado del divisor produce una respuesta equivocada.

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   Resta y confirma que la división termina. Multiplica hacia atrás:

   $2(x^2 + 4x + 3) = 2x^2 + 8x + 6$

   $(2x^2 + 8x + 6) - (2x^2 + 8x + 6) = 0$

   El resto es $0$, así que el cociente es exactamente $x + 2$.

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   Contrasta factorizando ambos polinomios. Los dos factorizan completamente sobre los enteros:

   $x^3 + 6x^2 + 11x + 6 = (x+1)(x+2)(x+3), \qquad x^2 + 4x + 3 = (x+1)(x+3)$

   Al cancelar los factores comunes $(x+1)(x+3)$ queda $x + 2$, lo que coincide con la división larga y confirma que la división es exacta para todo $x \neq -1, -3$.