Un cine vende boletos de adulto a 50 mil dong y boletos de niño a 20 mil dong, y recauda 2 millones de dong en total. Llamando x al número de adultos y y al número de niños, escribe la ecuación de primer grado con dos incógnitas y da una solución en números enteros.

Step-by-step solution

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   Lleva todas las cantidades a las mismas unidades antes de escribir nada. Los precios están en miles de dong y el total en millones, así que conviene convertir el total: $2$ millones de dong $=2000$ miles de dong. Mezclar las dos unidades es la única dificultad real de este problema.

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   Arma la expresión de la recaudación. $x$ adultos a $50$ mil cada uno aportan $50x$; $y$ niños a $20$ mil cada uno aportan $20y$. Su suma es la recaudación:

   $50x+20y=2000.$

   Esa es la ecuación de primer grado (lineal) con dos incógnitas que se pedía.

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   Simplifica por el factor común. Los tres coeficientes son divisibles entre $10$:

   $5x+2y=200.$

   Con números más pequeños es mucho más fácil buscar soluciones enteras.

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   Encuentra una solución en números enteros. Despeja $y$:

   $y=\frac{200-5x}{2}.$

   Para que $y$ sea entero, $200-5x$ debe ser par, lo que ocurre exactamente cuando $x$ es par. Tomando $x=20$ se obtiene

   $y=\frac{200-100}{2}=50.$

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   Contrasta el par con el enunciado original. $20$ adultos pagan $20\times 50=1000$ miles de dong y $50$ niños pagan $50\times 20=1000$ miles de dong; juntos, $2000$ miles $=2$ millones de dong ✓.

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   Nota que hay muchas soluciones. Como una sola ecuación no puede fijar dos incógnitas, las soluciones forman una familia: $x$ cualquier número par de $0$ a $40$, con $y=\tfrac{200-5x}{2}$. Por ejemplo, $(0,100)$, $(20,50)$ y $(40,0)$ sirven todas. El problema pide solo una, y por eso dice 'da una solución'.