Resolver 0.2 = 4.6092x³ + 9.2964x² + 2.7507x + 0.0251.

Step-by-step solution

1. 1

   Pasar todo a un lado. Restando $0.2$:

   $f(x)=4.6092x^{3}+9.2964x^{2}+2.7507x-0.1749=0$

   Lo que se busca es una raíz de $f$. Todos los coeficientes son positivos salvo el término independiente, así que por la regla de los signos de Descartes hay exactamente una raíz real positiva.

2. 2

   Acotar la raíz en un intervalo donde cambie el signo. Evaluando con cuidado:

   $f(0)=-0.1749,\qquad f(0.05)=-0.0135,\qquad f(0.06)=+0.0246$

   El signo cambia entre $0.05$ y $0.06$, así que la raíz está ahí. Cada dígito de estos valores de prueba importa: un $f(0.06)$ mal evaluado mandaría el acotamiento al intervalo equivocado y produciría una respuesta errónea con toda confianza.

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   Revisar la aritmética del punto de prueba decisivo. En $x=0.06$: $4.6092(0.000216)=0.000996$, $9.2964(0.0036)=0.033467$, $2.7507(0.06)=0.165042$. Sumando y restando: $0.199505-0.1749=+0.024605$. Es positivo, lo que confirma el intervalo $[0.05,0.06]$.

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   Refinar con el método de Newton. Con $f'(x)=13.8276x^{2}+18.5928x+2.7507$ y $x_{0}=0.055$, los iterados sucesivos son $0.0536168$, $0.0536118$, $0.0536118$: convergencia con siete decimales:

   $x\approx 0.0536118$

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   Verificar la raíz y dar cuenta de las otras. $f(0.0536118)=0.0000002$ ✓. Las otras dos raíces de la cúbica, $x\approx-0.43195$ y $x\approx-1.63858$, son negativas; si la variable representa una magnitud física suelen descartarse, y queda $x\approx 0.0536$ como respuesta.